Dénombrement — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Cardinal d'un ensemble fini

Un ensemble E est fini s'il contient un nombre fini d'éléments. Ce nombre est appelé cardinal de E et noté card(E) ou |E|.

Dénombrer un ensemble, c'est déterminer son cardinal.

II. Principe additif et principe multiplicatif

Principe additif (ou des choix exclusifs) : si A et B sont deux ensembles finis disjoints ( $A \cap B = \emptyset$ ), alors :

$card (A \cup B) = card (A) + card (B)$

Cas général (A et B quelconques) :

$card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$

Principe multiplicatif (ou des choix successifs) : si une situation se décompose en k étapes successives offrant respectivement $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ possibilités, alors le nombre total de résultats est :

$n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$

Exemple : pour former un code à 4 chiffres (chaque chiffre de 0 à 9, avec répétition autorisée), on a $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$ codes.

III. Factorielle

Pour tout entier $n \geq 1$ , on appelle factorielle de n, noté $n!$ , le produit :

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1$

Par convention : $0! = 1$ .

$1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040$ .

Relation utile : $n! = n \times (n - 1)!$

IV. Permutations

Une permutation d'un ensemble E à n éléments est un arrangement ordonné de tous ses éléments (chaque élément apparaît une fois).

Le nombre de permutations de n éléments est :

$n!$

Nombre de façons d'ordonner 5 livres sur une étagère : $5! = 120$ .

V. Arrangements

Soit E un ensemble à n éléments et p un entier avec $0 \leq p \leq n$ . Un arrangement de p éléments de E est une suite ordonnée de p éléments distincts choisis parmi les n.

Le nombre d'arrangements de p éléments parmi n est :

$A_{n}^{p} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - p + 1) = \frac{n !}{( n - p )!}$

Cas particuliers : $A_{n}^{0} = 1, A_{n}^{1} = n, A_{n}^{n} = n!$

Quand utiliser un arrangement ?

On choisit p éléments parmi n.
L'ordre compte (≠ combinaisons).
Sans répétition (≠ p-listes).

Exemple : nombre de podiums (or, argent, bronze) parmi 10 coureurs = $A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .

VI. Combinaisons

Soit E un ensemble à n éléments et p un entier avec $0 \leq p \leq n$ . Une combinaison de p éléments de E est une partie (sous-ensemble) de E à p éléments — sans ordre, sans répétition.

Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est :

$C_{n}^{p} = (p n) = \frac{n !}{p ! \cdot ( n - p )!} = \frac{A _{n}^{p}}{p !}$

Propriétés des $C_{n}^{p}$ :

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1; C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$ .
Symétrie : $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$ .
Relation de Pascal : $C_{n}^{p} + C_{n}^{p + 1} = C_{n + 1}^{p + 1}$ .
Somme : $p = 0 \sum n C_{n}^{p} = 2^{n}$ (nombre de parties d'un ensemble à n éléments).

Quand utiliser une combinaison ?

On choisit p éléments parmi n.
L'ordre ne compte pas (choix simultané, équipe, comité, mains de cartes).
Sans répétition.

Exemple : nombre d'équipes de 3 joueurs parmi 10 = $C_{10}^{3} = 120$ .

VII. Formule du binôme de Newton

Pour tout entier $n \geq 0$ et tous réels a, b :

$(a + b)^{n} = p = 0 \sum n C_{n}^{p} \cdot a^{n - p} \cdot b^{p}$

Exemples : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ; $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

VIII. Récapitulatif — choisir p parmi n

Type	Ordre	Répétition	Nombre
p-liste (tirage avec remise)	oui	oui	$n^{p}$
Arrangement	oui	non	$A_{n}^{p}$
Permutation (p = n)	oui	non	$n!$
Combinaison	non	non	$C_{n}^{p}$

📈 Figure clé

Arbre de dénombrement

🔑 Formules clés à retenir

Principe multiplicatif : $n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
Permutations : $n!$
Arrangements : $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$
Combinaisons : $C_{n}^{p} = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$
Symétrie : $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$
Pascal : $C_{n}^{p} + C_{n}^{p + 1} = C_{n + 1}^{p + 1}$
Binôme : $(a + b)^{n} = \sum C_{n}^{p} \cdot a^{n - p} \cdot b^{p}$
$\sum C_{n}^{p} = 2^{n}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Arrangement ≠ Combinaison — Arrangement : l'ordre compte (on choisit 3 élèves pour président, vice-président, secrétaire). Combinaison : l'ordre ne compte pas (on choisit 3 élèves dans un groupe).

❌

0! = 1, pas 0 — Par convention, 0! = 1. C'est indispensable pour que C(n, 0) = 1 et C(n, n) = 1.

❌

C(n, p) n'est défini que pour 0 ≤ p ≤ n — C(5, 7) n'existe pas. Toujours vérifier que p ≤ n avant de calculer.

🟢 Astuces de pros

✅

Question clé avant de calculer : "L'ordre compte-t-il ?" Si oui → arrangement. Si non → combinaison. "Avec ou sans remise ?" change aussi la formule.

💡

Utiliser la symétrie C(n, p) = C(n, n−p) pour simplifier : C(10, 8) = C(10, 2) = 45. Toujours prendre le plus petit des deux.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Dénombrement

Type 1 : Appliquer le principe multiplicatif

Quand ? Un choix se fait en plusieurs ÉTAPES successives (ET) : d'abord ceci, ensuite cela.

Découpe la situation en étapes ordonnées.
Compte le nombre de possibilités à chaque étape.
Vérifie que le nombre de possibilités d'une étape ne dépend pas des choix précédents.
Multiplie tous ces nombres entre eux.

Exemple éclair : Un menu avec $3$ entrées ET $4$ plats : $3 \times 4 = 12$ menus possibles.

Type 2 : Appliquer le principe additif

Quand ? Un choix se fait entre des cas SÉPARÉS et incompatibles (OU) : soit ceci, soit cela.

Identifie les différents cas possibles, qui ne se chevauchent pas.
Compte le nombre de possibilités dans chaque cas.
Vérifie qu'aucune possibilité n'est comptée deux fois.
Additionne les nombres obtenus.

Exemple éclair : Voyager en $2$ trains OU $3$ bus : $2 + 3 = 5$ moyens de transport possibles.

Type 3 : Construire un arbre de choix

Quand ? Le nombre de possibilités est petit et on veut VISUALISER toutes les issues.

Pars d'un point de départ (la racine).
Trace une branche pour chaque possibilité de la première étape.
Depuis chaque branche, trace les branches de l'étape suivante.
Compte le nombre d'extrémités (feuilles) : c'est le nombre total d'issues.
Liste chaque chemin si on demande d'énumérer les résultats.

Exemple éclair : Pile/Face lancé $2$ fois : l'arbre donne $4$ feuilles : PP, PF, FP, FF.

Type 4 : Compter des listes (tirages avec remise et ordre)

Quand ? On choisit $p$ éléments parmi $n$ , avec RÉPÉTITION possible et l'ORDRE compte (codes, plaques...).

Vérifie qu'un même élément peut être réutilisé (avec remise).
Vérifie que l'ordre des éléments compte.
À chaque position, il y a $n$ choix possibles.
Le nombre de listes est $n^{p}$ (n choix répété p fois).

Exemple éclair : Un code de $3$ chiffres ( $0$ à $9$ ) : $1 0^{3} = 1000$ codes possibles.

Type 5 : Compter des arrangements (tirages sans remise et ordre)

Quand ? On choisit $p$ éléments parmi $n$ , SANS répétition mais l'ORDRE compte (podium, classement...).

Vérifie qu'un élément ne peut pas être repris (sans remise).
Vérifie que l'ordre compte.
À la 1re position $n$ choix, à la 2e $n - 1$ choix, puis $n - 2$ ... pour $p$ positions.
Multiplie : le nombre vaut $n \times (n - 1) \times \dots \times (n - p + 1)$ .

Exemple éclair : Podium ( $1$ er, $2$ e, $3$ e) parmi $5$ coureurs : $5 \times 4 \times 3 = 60$ podiums.

Type 6 : Compter des permutations (ranger tous les éléments)

Quand ? On range TOUS les $n$ éléments dans un ordre, sans répétition.

Vérifie que tous les éléments sont utilisés et tous distincts.
À la 1re place $n$ choix, à la 2e $n - 1$ , et ainsi de suite jusqu'à $1$ .
Multiplie tous ces nombres : c'est $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$ .
Rappelle-toi que $0! = 1$ et $1! = 1$ .

Exemple éclair : Ranger $4$ livres sur une étagère : $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ rangements.

Type 7 : Choisir la bonne méthode (ordre ? répétition ?)

Quand ? Avant tout dénombrement, pour ne pas se tromper de formule.

Demande-toi : l'ordre des éléments change-t-il le résultat ?
Demande-toi : un même élément peut-il se répéter ?
Ordre compte + avec remise $\Rightarrow$ liste : $n^{p}$ .
Ordre compte + sans remise $\Rightarrow$ arrangement : $n \times (n - 1) \times \dots$ ; si on prend tout $\Rightarrow$ permutation $n!$ .
Découpe ensuite en étapes (multiplicatif) ou en cas (additif) selon la situation.

Exemple éclair : Tirer $2$ lettres distinctes ordonnées parmi $A, B, C$ : sans remise, ordre compte $\Rightarrow 3 \times 2 = 6$ tirages.

Dénombrement — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

61 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 61 corrigés

Exercices Faciles

18 exercices

Choix de boissons

Facile

Énoncé

Un café à Marrakech propose 3 types de thé et 2 types de café. Combien de choix de boissons sont possibles ?

Ma réponse

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II. Principe additif et principe multiplicatif

III. Factorielle

IV. Permutations

V. Arrangements

VI. Combinaisons

VII. Formule du binôme de Newton

VIII. Récapitulatif — choisir p parmi n

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Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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Type 1 : Appliquer le principe multiplicatif

Type 2 : Appliquer le principe additif

Type 3 : Construire un arbre de choix

Type 4 : Compter des listes (tirages avec remise et ordre)

Type 5 : Compter des arrangements (tirages sans remise et ordre)

Type 6 : Compter des permutations (ranger tous les éléments)

Type 7 : Choisir la bonne méthode (ordre ? répétition ?)

Dénombrement — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Choix de boissons

Dénombrer des fruits

Choix de vêtements

Nombres de codes

Desserts à choisir

Tenues pour un mariage

Dénombrer des fruits

Choix de vêtements

Visite de villes

Choix de desserts

Dénombrer les livres

Cardinal d'un ensemble

Dénombrement de fruits

Choix de vêtements

Dénombrement d'étudiants

Calculs de factorielles

Principe multiplicatif

Arrangement ou combinaison ?

Exercices Intermédiaires

Combinaisons de fruits

Équipe de projet

Dégustation de thés

Numéros de bus

Dénombrer les combinaisons

Établir des équipes

Déguster des plats

Arrangements de livres

Sélection de livres

Planification d'une fête

Drapeaux des régions

Codes de sécurité

Arrangements de livres

Sacs de bonbons

Sélection de fruits

Permutations de prénoms

Dénombrement avec contraintes

Chemin dans une grille

Triangle de Pascal et identités

Comité — combinaison

Nombre à chiffres distincts

Anagrammes

Formule du binôme

Exercices Difficiles

Groupe d'amis

Arrangements de fruits

Sélection de livres

Arrangements de couverts

Planification de voyages

Élections de représentants

Distribution de bonbons

Mélanger des cartes