Polynômes — Résumé de cours

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Définition

Un polynôme

P (x)

est une expression de la forme :

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

où

a_{n} \neq = 0

n

est le degré.

Opérations sur les polynômes

Somme : $de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q)$
Produit : $de g (P \times Q) = de g P + de g Q$

Racines d'un polynôme

a

est une racine de

P

P (a) = 0

. Si

a

est racine, alors

(x - a)

divise

P (x)

Polynôme du second degré : $a x^{2} + b x + c$

Discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

$Δ > 0$ : deux racines $x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$
$Δ = 0$ : une racine double $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$
$Δ < 0$ : pas de racine réelle

Factorisation

$Δ > 0$ : $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
$Δ = 0$ : $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$

Relations entre coefficients et racines

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

;

x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}

📈 Figure clé

Parabole

x^{2} - 2 x - 3

(racines

- 1

3

)

🔑 Formules clés à retenir

$Δ = b^{2} - 4 a c$
$x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$
$x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Mal calculer le discriminant — Δ = b² − 4ac. Attention au signe : si b est négatif, b² est positif. Si ax² + bx + c n'est pas sous forme standard, remettre en ordre d'abord.

❌

Δ = 0 ⇒ une seule racine, pas deux — x = −b/(2a). Ne pas écrire deux racines identiques comme si c'était deux solutions distinctes.

❌

Oublier de mettre sous forme ax² + bx + c = 0 avant d'appliquer la formule — Tout doit être du même côté de l'équation.

🟢 Astuces de pros

✅

Relations de Viète pour vérifier : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Si les racines trouvées ne vérifient pas ces relations, il y a une erreur.

💡

Factorisation rapide : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Très utile pour résoudre les inéquations du 2ème degré ensuite.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Polynômes

Type 1 : Déterminer le degré et les coefficients

Quand ? On te donne un polynôme et on demande son degré, son coefficient dominant ou son terme constant.

Développe et réduis le polynôme (regroupe les termes de même puissance).
Le degré est la plus grande puissance de $x$ dont le coefficient est non nul.
Le coefficient dominant est celui du terme de plus haut degré.
Le terme constant est $P (0)$ (le terme sans $x$ ).

Exemple éclair : $P (x) = 2 x^{3} - 5 x + 1$ est de degré $3$ , coefficient dominant $2$ , terme constant $1$ .

Type 2 : Calculer une image $P (a)$ et tester une racine

Quand ? On demande $P (a)$ ou de vérifier que $a$ est une racine de $P$ .

Remplace chaque $x$ par $a$ entre parenthèses.
Calcule les puissances d'abord, puis les produits, puis les sommes.
Si le résultat vaut $0$ , alors $a$ est une racine de $P$ .
Conclusion : $a$ racine $⟺ P (a) = 0 ⟺ (x - a)$ divise $P (x)$ .

Exemple éclair : $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ , $P (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ donc $1$ est racine.

Type 3 : Factoriser par $(x - a)$ quand $a$ est racine

Quand ? Une racine évidente $a$ est connue (souvent $P (1) = 0$ ou $P (- 1) = 0$ ) et on veut factoriser.

Vérifie que $a$ est bien racine : $P (a) = 0$ .
Écris $P (x) = (x - a) \cdot Q (x)$ où $Q$ a un degré de moins.
Trouve $Q (x)$ par division euclidienne ou par identification des coefficients.
Si possible, factorise encore $Q (x)$ (trinôme).

Exemple éclair : $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ , racine $1$ : $P (x) = (x - 1) (x - 2)$ .

Type 4 : Effectuer la division euclidienne de polynômes

Quand ? On demande le quotient et le reste de la division de $A (x)$ par $B (x)$ .

Range $A$ et $B$ par puissances décroissantes, sans oublier les termes manquants (coefficient $0$ ).
Divise le terme dominant de $A$ par celui de $B$ : premier terme du quotient.
Multiplie $B$ par ce terme, soustrais à $A$ , abaisse le reste.
Recommence tant que le degré du reste $\geq$ degré de $B$ .
Conclusion : $A = B \cdot Q + R$ avec $de g R < de g B$ .

Exemple éclair : $(x^{2} - 1) \div (x - 1)$ donne quotient $x + 1$ et reste $0$ .

Type 5 : Calculer le discriminant et les racines du trinôme

Quand ? Polynôme du second degré $a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ ; on cherche ses racines.

Identifie $a$ , $b$ , $c$ .
Calcule $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Si $Δ > 0$ : deux racines $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
Si $Δ = 0$ : une racine double $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ .
Si $Δ < 0$ : aucune racine réelle.

Exemple éclair : $x^{2} - 5 x + 6$ : $Δ = 25 - 24 = 1$ , racines $\frac{5 \pm 1}{2}$ , soit $2$ et $3$ .

Type 6 : Factoriser un trinôme du second degré

Quand ? On demande la forme factorisée de $a x^{2} + b x + c$ .

Calcule $Δ$ et les racines (Type 5).
Si deux racines $x_{1}, x_{2}$ : $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Si racine double $x_{0}$ : $a (x - x_{0})^{2}$ .
Si $Δ < 0$ : le trinôme ne se factorise pas dans $R$ .
N'oublie jamais le facteur $a$ devant.

Exemple éclair : $2 x^{2} - 4 x - 6 = 2 (x - 3) (x + 1)$ (racines $3$ et $- 1$ ).

Type 7 : Étudier le signe du trinôme

Quand ? On demande le signe de $a x^{2} + b x + c$ selon $x$ , ou un tableau de signes.

Calcule $Δ$ .
Si $Δ > 0$ (deux racines) : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe de $- a$ entre les racines.
Si $Δ = 0$ : du signe de $a$ partout, sauf nul en $x_{0}$ .
Si $Δ < 0$ : toujours du signe de $a$ , jamais nul.
Dresse le tableau de signes pour conclure.

Exemple éclair : $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ sur $] - \infty; 2 [\cup] 3; + \infty [$ et $< 0$ sur $] 2; 3 [$ .

Type 8 : Utiliser somme et produit des racines

Quand ? On demande la somme/produit des racines, ou de trouver deux nombres connaissant leur somme et produit.

Pour $a x^{2} + b x + c$ : somme $S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$ , produit $P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Vérifie d'abord que $Δ \geq 0$ (sinon pas de racines réelles).
Deux nombres de somme $S$ et produit $P$ sont les racines de $X^{2} - S X + P = 0$ .
Résous cette équation pour les trouver.

Exemple éclair : deux nombres de somme $5$ et produit $6$ : racines de $X^{2} - 5 X + 6$ , soit $2$ et $3$ .

Polynômes — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

65 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 65 corrigés

Exercices Faciles

25 exercices

Factorisation simple — mise en facteur

Facile

Énoncé

Factoriser en mettant en évidence le facteur commun :

$6 x^{2}$ + $9 x$
$4 a^{2} b$ − $8 a b^{2}$
$3 (x + 1)$ − $x (x + 1)$
$2 x^{2}$ − $5 x$ − $3$ (chercher les racines puis factoriser)

Ma réponse

Polynômes

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Définition

Opérations sur les polynômes

Racines d'un polynôme

Polynôme du second degré : ax2+bx+c

Factorisation

Relations entre coefficients et racines

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Polynômes

Type 1 : Déterminer le degré et les coefficients

Type 2 : Calculer une image P(a) et tester une racine

Type 3 : Factoriser par (x−a) quand a est racine

Type 4 : Effectuer la division euclidienne de polynômes

Type 5 : Calculer le discriminant et les racines du trinôme

Type 6 : Factoriser un trinôme du second degré

Type 7 : Étudier le signe du trinôme

Type 8 : Utiliser somme et produit des racines

Polynômes — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Factorisation simple — mise en facteur

Valeur d'un polynôme

Développer et réduire

Degré et coefficient d'un polynôme

Racine et factorisation d'un trinôme

Division d'un polynôme par (x − a)

Reste de la division par (x + 1)

Valeur du paramètre pour une divisibilité

Somme de polynômes

Somme de polynômes

Produit de polynômes

Racines d'un polynôme

Facteur commun

Addition de polynômes

Produit de polynômes

Produit de polynômes

Racine d'un polynôme

Déterminer le degré d'un polynôme

Racines d'un polynôme du second degré

Factorisation d'un polynôme

Résolution d'équations du 2nd degré

Polynômes et identités remarquables

Division euclidienne de polynômes

Théorème de Bézout et racines

Factorisation complète par le discriminant

Exercices Intermédiaires

Utiliser les identités remarquables

Identités remarquables niveau 2AC

Factoriser

Développer des expressions

Factoriser en utilisant les identités remarquables

Factorisation et encadrement d'une valeur

Factorisation en trois facteurs de degré 1

Égalité de deux polynômes

Degré d'un polynôme selon un paramètre

Résolution d'une équation polynomiale

Relations entre coefficients et racines

Résolution d'une équation du second degré

Racines et coefficients

Équation à une racine

Produit et racines

Relations coefficients-racines

Décomposition en facteurs irréductibles

Factorisation et signe

Factorisation et simplification

Tableau de signes d'un trinôme

Division euclidienne de polynômes

Relations coefficients-racines et reconstruction

Exercices Difficiles

Problème avec polynôme

Problème — polynôme et aire

Simplifier des fractions algébriques

Polynôme du second degré : $a x^{2} + b x + c$

Type 2 : Calculer une image $P (a)$ et tester une racine

Type 3 : Factoriser par $(x - a)$ quand $a$ est racine