Produit scalaire dans le plan — Résumé de cours

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Contenu du cours

I. Définitions du produit scalaire

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de $u$ et $v$ , noté $u \cdot v$ , est le nombre réel défini, selon le contexte, par l'une des expressions équivalentes :

Définition géométrique : $u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ \cdot cos (u, v)$ .
Par projection : si $u = A B$ et $v = A C$ , et H le projeté orthogonal de C sur (AB), alors $u \cdot v = \overline{A B} \cdot \overline{A H}$ (produit des mesures algébriques).
Par les normes : $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2}) = \frac{1}{2} (∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2})$ .
En repère orthonormé : si $u (x, y)$ et $v (x^{'}, y^{'})$ , alors $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .

Cas particuliers :

$u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ (appelé carré scalaire, noté $u^{2}$ ).
Si $u = 0$ ou $v = 0$ : $u \cdot v = 0$ .

II. Propriétés algébriques

Pour tous vecteurs $u, v, w$ et tout réel $k$ :

Symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$ .
Bilinéarité : $(k \cdot u) \cdot v = k \cdot (u \cdot v)$ ; $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ .
Identités remarquables :
- $(u + v)^{2} = u^{2} + 2 \cdot u \cdot v + v^{2}$
- $(u - v)^{2} = u^{2} - 2 \cdot u \cdot v + v^{2}$
- $(u + v) \cdot (u - v) = u^{2} - v^{2}$

III. Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls $u$ et $v$ sont orthogonaux ssi $u \cdot v = 0$ .

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Montrer que (AB) ⊥ (CD) : il suffit de montrer que $A B \cdot C D = 0$ (en utilisant les coordonnées ou une formule adaptée).

IV. Applications géométriques

Théorème de la médiane : soit I le milieu de [BC]. Pour tout point A :

$A B^{2} + A C^{2} = 2 \cdot A I^{2} + \frac{B C ^{2}}{2}$

Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) : dans un triangle ABC, en notant $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ :

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos (\hat{A})$

Cas particulier ( $\hat{A} = 90°$ ) : théorème de Pythagore $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

Formule de l'aire : dans un triangle ABC,

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin (\hat{A})$

V. Équation cartésienne d'une droite par un vecteur normal

Dans un repère orthonormé, une droite (D) passant par $A (x_{0}, y_{0})$ et de vecteur normal $n (a, b)$ a pour équation :

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$

soit $a x + b y + c = 0$ , avec $c = - (a x_{0} + b y_{0})$ .

VI. Distance d'un point à une droite

La distance du point $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ à la droite (D) : $a x + b y + c = 0$ est :

$d (M_{0}, D) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

VII. Équation cartésienne d'un cercle

Le cercle de centre $Ω (a, b)$ et de rayon $R$ a pour équation :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

Équivalent : $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + (a^{2} + b^{2} - R^{2}) = 0$ .

Reconnaître une équation de cercle : écrire sous la forme $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ , compléter les carrés pour obtenir $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ . On a un cercle ssi $R^{2} > 0$ .

Cercle de diamètre [AB] : l'ensemble des M tels que $M A \cdot M B = 0$ est le cercle de diamètre [AB] (théorème du cercle vu sous un angle droit).

📈 Figure clé

u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ

🔑 Formules clés à retenir

$u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ \cdot cos (u, v) = x x^{'} + y y^{'}$
$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$
$(u + v)^{2} = u^{2} + 2 u \cdot v + v^{2}$
Al-Kashi : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos (\hat{A})$
Aire = $\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin (\hat{A})$
Médiane : $A B^{2} + A C^{2} = 2 A I^{2} + \frac{B C ^{2}}{2}$
$d (M, D) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$
Cercle : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$
Diamètre [AB] : $M A \cdot M B = 0$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

$u \cdot v$ est un scalaire, pas un vecteur — Le produit scalaire donne un nombre, pas un vecteur. Ne pas écrire $u \cdot v$ avec une flèche.

❌

Al-Kashi : bien identifier a, b, c et l'angle opposé — $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos (\hat{A})$ . Le côté a est OPPOSÉ à l'angle $\hat{A}$ . Ne pas mettre le mauvais angle.

❌

$u \cdot v = 0 \Leftrightarrow u ⊥ v$ seulement si $u \neq = 0$ et $v \neq = 0$ — Le vecteur nul est perpendiculaire à tout vecteur par convention, mais ce cas doit être exclu dans les démonstrations.

🟢 Astuces de pros

✅

Calculer l'angle entre deux vecteurs : $cos (angle) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥}$ . Calculer le produit scalaire par coordonnées ( $x x^{'} + y y^{'}$ ), puis diviser par les normes.

💡

Al-Kashi se réduit à Pythagore quand l'angle est $90°$ : $cos (90°) = 0$ donc $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ . Utiliser Al-Kashi quand on n'a pas d'angle droit.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Produit scalaire dans le plan

Type 1 : Calculer un produit scalaire

Quand ? On te donne deux vecteurs et on demande $u \cdot v$ , ou bien $A B \cdot A C$ .

Si tu connais les coordonnées dans un repère orthonormé : $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , applique $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ .
Si tu connais les normes et l'angle : applique $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos θ$ .
Si tu peux projeter : $A B \cdot A C = A B \cdot A H$ où $H$ est le projeté de $C$ sur $(A B)$ , soit $\pm A B \times A H$ .
Donne le résultat (un nombre réel, pas un vecteur).

Exemple éclair : $u (2; 3)$ , $v (1; - 1)$ donnent $u \cdot v = 2 \times 1 + 3 \times (- 1) = - 1$ .

Type 2 : Montrer que deux vecteurs (ou droites) sont orthogonaux

Quand ? On demande de prouver que $u ⊥ v$ , que deux droites sont perpendiculaires, ou qu'un triangle est rectangle.

Choisis deux vecteurs directeurs des objets concernés (ex. $A B$ et $A C$ pour l'angle en $A$ ).
Calcule leur produit scalaire avec la formule des coordonnées $x x^{'} + y y^{'}$ .
Conclus : si $u \cdot v = 0$ alors $u ⊥ v$ (donc droites perpendiculaires / triangle rectangle).

Exemple éclair : $A B (2; 1)$ et $A C (- 1; 2)$ : $2 \times (- 1) + 1 \times 2 = 0$ , donc le triangle est rectangle en $A$ .

Type 3 : Calculer une norme ou une distance

Quand ? On demande $∥ u ∥$ , la longueur $A B$ , ou le périmètre d'une figure.

Trouve les coordonnées du vecteur : $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .
Applique $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$ , c'est-à-dire $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Simplifie la racine si possible et garde une valeur exacte.

Exemple éclair : $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ : $A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .

Type 4 : Calculer un angle ( $cos$ d'un angle)

Quand ? On demande la mesure d'un angle d'un triangle ou $cos θ$ entre deux vecteurs.

Calcule $u \cdot v$ avec les coordonnées.
Calcule les normes $∥ u ∥$ et $∥ v ∥$ .
Isole le cosinus : $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \times ∥ v ∥}$ .
Déduis $θ$ avec la calculatrice ( $θ = arccos$ ) si on demande la mesure.

Exemple éclair : si $u \cdot v = 3$ , $∥ u ∥ = 2$ , $∥ v ∥ = 3$ alors $cos θ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , donc $θ = 6 0^{\circ}$ .

Type 5 : Utiliser les identités de polarisation et Al-Kashi

Quand ? On connaît les longueurs des côtés d'un triangle et on cherche un produit scalaire ou un angle sans repère.

Pour un produit scalaire à partir des longueurs, utilise $A B \cdot A C = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ .
Pour un angle, utilise la formule d'Al-Kashi : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \times A C \times cos A$ .
Remplace les longueurs connues, puis isole l'inconnue cherchée.

Exemple éclair : $A B = 3$ , $A C = 4$ , $B C = 5$ : $A B \cdot A C = \frac{1}{2} (9 + 16 - 25) = 0$ , le triangle est rectangle en $A$ .

Type 6 : Déterminer une équation de droite ou de cercle

Quand ? On cherche l'équation d'une droite perpendiculaire à un vecteur, d'une hauteur, d'une médiatrice ou d'un cercle.

Prends un point $M (x; y)$ courant de l'objet recherché.
Traduis la condition géométrique par un produit scalaire : pour une droite de vecteur normal $n$ passant par $A$ , écris $A M \cdot n = 0$ .
Pour un cercle de centre $Ω$ et rayon $r$ , écris $∥ Ω M ∥^{2} = r^{2}$ , soit $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .
Développe et ordonne pour obtenir l'équation finale.

Exemple éclair : droite passant par $A (1; 0)$ de vecteur normal $n (2; 3)$ : $2 (x - 1) + 3 y = 0$ , soit $2 x + 3 y - 2 = 0$ .

Type 7 : Trouver l'ensemble des points $M$ vérifiant une relation vectorielle

Quand ? On demande l'ensemble des points $M$ tels que $M A \cdot M B = k$ ou $M A \cdot M B = 0$ .

Introduis $I$ le milieu de $[A B]$ et décompose : $M A = M I + I A$ et $M B = M I + I B$ .
Comme $I A = - I B$ , développe : $M A \cdot M B = M I^{2} - I A^{2}$ .
Résous l'équation obtenue en $M I^{2}$ pour reconnaître un cercle (si $M I^{2} =$ constante positive) ou un point.

Exemple éclair : $M A \cdot M B = 0$ donne $M I^{2} = I A^{2}$ , donc le cercle de diamètre $[A B]$ .

Produit scalaire dans le plan — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

59 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 59 corrigés

Exercices Faciles

18 exercices

Produits scalaires dans un carré

Facile

Énoncé

On considère un carré $A B C D$ de côté $c$ .

Calculer, en fonction de $c$ , les produits scalaires suivants :

$A B \cdot A C$
$A B \cdot A D$
$A D \cdot C B$

Ma réponse

Produit scalaire dans le plan

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II. Propriétés algébriques

III. Orthogonalité

IV. Applications géométriques

V. Équation cartésienne d'une droite par un vecteur normal

VI. Distance d'un point à une droite

VII. Équation cartésienne d'un cercle

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Produit scalaire dans le plan

Type 1 : Calculer un produit scalaire

Type 2 : Montrer que deux vecteurs (ou droites) sont orthogonaux

Type 3 : Calculer une norme ou une distance

Type 4 : Calculer un angle (cos d'un angle)

Type 5 : Utiliser les identités de polarisation et Al-Kashi

Type 6 : Déterminer une équation de droite ou de cercle

Type 7 : Trouver l'ensemble des points M vérifiant une relation vectorielle

Produit scalaire dans le plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Produits scalaires dans un carré

Produit scalaire dans un triangle équilatéral

Produit scalaire à partir des longueurs d'un triangle

Produit scalaire de vecteurs

Produit scalaire et norme

Propriétés du produit scalaire

Produit scalaire et norme

Produit scalaire et angles

Produit scalaire et norme

Produit scalaire et norme

Produit scalaire de vecteurs colinéaires

Projection d'un vecteur

Produit scalaire de vecteurs nuls

Orthogonalité de vecteurs

Calcul direct en coordonnées

Calcul avec angle

Orthogonalité — trouver un paramètre

Équation d'une droite par vecteur normal

Exercices Intermédiaires

Norme, orthogonalité et combinaisons de vecteurs

Angle, produit scalaire et orthogonalité de droites

Théorème de la médiane et angle au milieu

Mesure d'angle, longueur et médiane

Produit scalaire et projeté orthogonal

Produit scalaire et angle entre vecteurs

Calcul de produit scalaire avec des scalaires

Équivalence de produits scalaires

Produit scalaire et distance entre points

Projection orthogonale

Calcul du produit scalaire

Bilinéarité du produit scalaire

Démonstration de la symétrie

Démonstration de la bilinéarité

Calcul du produit scalaire avec un angle

Projection d'un vecteur

Démontrer une propriété

Calcul du produit scalaire avec des coefficients

Angle entre deux vecteurs

Projection orthogonale et base orthonormée

Produit scalaire et règle du cosinus

Théorème d'Al-Kashi

Distance point-droite

Équation d'un cercle et caractérisation

Théorème de la médiane

Exercices Difficiles

Trois identités fondamentales avec le milieu

Ensembles de points et lignes de niveau

Démonstration de bilinéarité

Application pratique du produit scalaire

Propriétés du produit scalaire

Démonstration de la symétrie

Calcul du produit scalaire avec des coefficients

Type 4 : Calculer un angle ( $cos$ d'un angle)

Type 7 : Trouver l'ensemble des points $M$ vérifiant une relation vectorielle