Ligne de niveau d'une somme vectorielle constante

Difficile
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Énoncé

Soient et deux points tels que . On cherche l'ensemble des points du plan vérifiant :

.

1) Réduire .

2) Déterminer et décrire l'ensemble .

Indices

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1 Indice 1
Pour réduire $2\vec{MA}+\vec{MB}$, introduis le barycentre $G$ des points pondérés $(A,2)$ et $(B,1)$, et utilise la relation de Chasles sur chaque vecteur.
2 Indice 2
Une fois la réduction faite sous la forme $3\vec{MG}$, remplace dans l'équation $\|2\vec{MA}+\vec{MB}\|=9$ pour obtenir une condition simple sur la distance $MG$.
3 Indice 3
Détermine la position de $G$ sur le segment $[AB]$ à l'aide des poids $2$ et $1$ (relation $\vec{AG}=\frac{1}{3}\vec{AB}$), puis identifie la nature géométrique de l'ensemble des points $M$ tels que $MG$ soit constant.

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La méthode — par où commencer

Pour réduire , introduis le barycentre des points pondérés et , et utilise la relation de Chasles sur chaque vecteur.

Une fois la réduction faite sous la forme , remplace dans l'équation pour obtenir une condition simple sur la distance .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Associativité : barycentre de trois points Tous les exercices du chapitre Lieu géométrique combinant réduction et propriété vectorielle