Une entreprise produit x unités d'un bien (avec x > 0 ). Le coût total de production, en dirhams, est donné par C ( x ) = x 2 + 100 x + 900 . Le coût moyen est défini par C M ( x ) = x C ( x ) . 1) Exprimer C M ( x ) puis calculer C M ′ ( x ) . 2) Déterminer la quantité x qui rend le coût moyen minimal, et calculer ce coût moyen minimal.

Coût moyen et coût marginal

Intermédiaire

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Une entreprise produit $x$ unités d'un bien (avec $x > 0$ ). Le coût total de production, en dirhams, est donné par $C (x) = x^{2} + 100 x + 900$ .

Le coût moyen est défini par $C_{M} (x) = \frac{C ( x )}{x}$ .

1) Exprimer $C_{M} (x)$ puis calculer $C_{M}^{'} (x)$ .

2) Déterminer la quantité $x$ qui rend le coût moyen minimal, et calculer ce coût moyen minimal.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, commence par simplifier $C_M(x) = \dfrac{x^2 + 100x + 900}{x}$ en divisant chaque terme du numérateur par $x$. Tu obtiendras une somme de trois termes simples à dériver.

2 Indice 2

Pour la question 2, cherche quand $C_M'(x) = 0$, c'est-à-dire quand $\dfrac{x^2 - 900}{x^2} = 0$. Cela revient à résoudre $x^2 - 900 = 0$. Ensuite, étudie le signe de $C_M'(x)$ pour vérifier que tu as bien un minimum.

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Pour la question 1, commence par simplifier $C_{M} (x) = \frac{x ^{2} + 100 x + 900}{x}$ en divisant chaque terme du numérateur par $x$ . Tu obtiendras une somme de trois termes simples à dériver.

Pour la question 2, cherche quand $C_{M}^{'} (x) = 0$ , c'est-à-dire quand $\frac{x ^{2} - 900}{x ^{2}} = 0$ . Cela revient à résoudre $x^{2} - 900 = 0$ . Ensuite, étudie le signe de $C_{M}^{'} (x)$ pour vérifier que tu as bien un minimum.

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