Soit la fonction f définie sur R ∖ { − 1 } par f ( x ) = x + 1 x 2 + x + 1 . 1) Calculer f ′ ( x ) et montrer qu'elle peut s'écrire f ′ ( x ) = ( x + 1 ) 2 x 2 + 2 x . 2) Étudier le signe de f ′ ( x ) et donner le sens de variation de f . 3) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a = 0 .

Étude d'une fonction rationnelle et tangente

Difficile

Énoncé

Soit la fonction $f$ définie sur $R ∖ {- 1}$ par $f (x) = \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}$ .

1) Calculer $f^{'} (x)$ et montrer qu'elle peut s'écrire $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

2) Étudier le signe de $f^{'} (x)$ et donner le sens de variation de $f$ .

3) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a = 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Utilisez la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x) = x^2+x+1$ et $v(x) = x+1$.

2 Indice 2

Pour le signe de $f'(x)$, factorisez le numérateur $x^2 + 2x = x(x+2)$.

3 Indice 3

Pour la tangente en $a=0$, utilisez la formule $y = f'(0)(x-0) + f(0)$.

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Utilisez la formule de dérivation d'un quotient $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ avec $u (x) = x^{2} + x + 1$ et $v (x) = x + 1$ .

Pour le signe de $f^{'} (x)$ , factorisez le numérateur $x^{2} + 2 x = x (x + 2)$ .

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