Optimisation du bénéfice

Difficile
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Une entreprise produit et vend articles (avec ). La recette est et le coût total est (en dirhams). Le bénéfice est .

  1. Montrer que .
  2. Calculer et déterminer son signe.
  3. Pour quelle quantité le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?

Indices

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1 Indice 1
Remplace $R(q)$ et $C(q)$ dans $B(q)=R(q)-C(q)$ et développe.
2 Indice 2
Dérive le polynôme $B(q)=-q^2+40q-200$ terme par terme, puis résous $B'(q)=0$.
3 Indice 3
Le coefficient de $q^2$ dans $B(q)$ étant négatif, $B'$ change de signe en son unique racine : détermine ce signe avant et après pour conclure sur le maximum.

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La méthode — par où commencer

Remplace et dans et développe.

Dérive le polynôme terme par terme, puis résous .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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