Fonction rationnelle et asymptote oblique

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$.

1) Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ et calculer les limites de $f$ en $0^{-}$, $0^{+}$, $-\infty$ et $+\infty$.

2) Montrer que la droite $(D):y=x$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

3) Calculer $f^{\prime }(x)$, résoudre $f^{\prime }(x)=0$ et étudier son signe.

4) Dresser le tableau de variations de $f$, en précisant les extremums locaux.

5) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$.