Fonction rationnelle avec asymptote oblique et verticale

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x+2}$.

1) Déterminer l'ensemble de définition $D_f$.

2) Vérifier que $f(x)=x-\frac{3}{x+2}$ pour tout $x\in D_f$.

3) Calculer les limites de $f$ en $-2^{-}$, $-2^{+}$, $-\infty$ et $+\infty$. En déduire les asymptotes de la courbe de $f$ (on admettra que $y=x$ est asymptote oblique en $\pm \infty$).

4) Calculer $f^{\prime }(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$.

5) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.