Nombre de solutions d'une équation cubique

Difficile
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Énoncé

Soit la fonction définie sur par .

1) Calculer les limites de en et .

2) Calculer , résoudre et étudier son signe.

3) Dresser le tableau de variations complet de (limites et extremums).

4) En utilisant le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que l'équation admet exactement trois solutions réelles.

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 4, commence par repérer les trois intervalles où $f$ est monotone (croissante ou décroissante). Sur chacun, vérifie si $0$ se trouve bien entre la valeur de départ et la valeur d'arrivée.
2 Indice 2
Applique le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle de monotonie : si $f$ est continue et strictement monotone de $a$ à $b$, et que $0 \in ]\min(a,b) ; \max(a,b)[$, alors il existe une unique solution dans cet intervalle.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 4, commence par repérer les trois intervalles où est monotone (croissante ou décroissante). Sur chacun, vérifie si se trouve bien entre la valeur de départ et la valeur d'arrivée.

Applique le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle de monotonie : si est continue et strictement monotone de à , et que , alors il existe une unique solution dans cet intervalle.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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