Étude guidée d'une fonction rationnelle (type examen)

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative.

1. Déterminer $D_f$.
2. Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ tels que $f(x)=ax+b+\frac{c}{x-1}$ pour tout $x\in D_f$.
3. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.
4. Montrer que la droite $(\Delta ):y=x$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $\pm \infty$.
5. Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations.