Fonction cubique décroissante à l'infini

Intermédiaire
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Énoncé

Soit la fonction définie sur par .

1) Calculer et .

2) Calculer et étudier son signe.

3) Dresser le tableau de variations de , en précisant les extremums locaux.

4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse .

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, identifie le terme de plus haut degré dans $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 1$. Quand $x$ devient très grand (en valeur absolue), c'est ce terme qui impose le comportement de la fonction.
2 Indice 2
Pour la question 2, dérive terme par terme : la dérivée de $-x^3$ est $-3x^2$, celle de $3x^2$ est $6x$. Ensuite, factorise $f'(x)$ en mettant $-3x$ en facteur pour trouver les valeurs qui annulent la dérivée.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, identifie le terme de plus haut degré dans . Quand devient très grand (en valeur absolue), c'est ce terme qui impose le comportement de la fonction.

Pour la question 2, dérive terme par terme : la dérivée de est , celle de est . Ensuite, factorise en mettant en facteur pour trouver les valeurs qui annulent la dérivée.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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