Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = x 3 − 3 x . 1) Calculer x → − ∞ lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . 2) Calculer f ′ ( x ) et résoudre f ′ ( x ) = 0 . 3) Dresser le tableau de variations de f sur R .

Étude d'une fonction cubique simple

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Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

1) Calculer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .

2) Calculer $f^{'} (x)$ et résoudre $f^{'} (x) = 0$ .

3) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $R$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, regarde le terme de plus haut degré dans $f(x) = x^3 - 3x$ : c'est lui qui impose le comportement quand $x$ tend vers l'infini. Que devient $x^3$ quand $x \to -\infty$ puis $x \to +\infty$ ?

2 Indice 2

Pour la question 2, dérive terme par terme : la dérivée de $x^3$ est $3x^2$ et celle de $-3x$ est $-3$. Ensuite, factorise $f'(x)$ pour résoudre l'équation $f'(x) = 0$ en pensant à une identité remarquable.

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Pour la question 1, regarde le terme de plus haut degré dans $f (x) = x^{3} - 3 x$ : c'est lui qui impose le comportement quand $x$ tend vers l'infini. Que devient $x^{3}$ quand $x \to - \infty$ puis $x \to + \infty$ ?

Pour la question 2, dérive terme par terme : la dérivée de $x^{3}$ est $3 x^{2}$ et celle de $- 3 x$ est $- 3$ . Ensuite, factorise $f^{'} (x)$ pour résoudre l'équation $f^{'} (x) = 0$ en pensant à une identité remarquable.

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