Étude d'une fonction homographique

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$.

1) Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.

2) Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ (en particulier en $1$, $-\infty$ et $+\infty$). En déduire les équations des asymptotes.

3) Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe.

4) Dresser le tableau de variations de $f$.

5) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$.