Dans un repere orthonorme, on considere les points A ( 0 ; 0 ) , B ( 4 ; 0 ) et C ( 1 ; 3 ) . 1) Calculer A B ⋅ A C . 2) En deduire les coordonnees du projete orthogonal H du point C sur la droite ( A B ) . 3) Calculer la distance C H .

Projete orthogonal et formule de la projection

Difficile

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Dans un repere orthonorme, on considere les points $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ et $C (1; 3)$ .

1) Calculer $A B \cdot A C$ .

2) En deduire les coordonnees du projete orthogonal $H$ du point $C$ sur la droite $(A B)$ .

3) Calculer la distance $C H$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour le produit scalaire, calcule d'abord les coordonnées des vecteurs $\\vec{AB}$ et $\\vec{AC}$, puis applique $\\vec{u}\\cdot\\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v$.

2 Indice 2

Pour le projeté orthogonal $H$, utilise la relation $\\vec{AH} = \\dfrac{\\vec{AB}\\cdot\\vec{AC}}{\\|\\vec{AB}\\|^2}\\,\\vec{AB}$.

3 Indice 3

Pour la distance $CH$, calcule les coordonnées du vecteur $\\vec{CH}$ puis sa norme avec $\\sqrt{x^2+y^2}$.

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Pour le produit scalaire, calcule d'abord les coordonnées des vecteurs $v ec A B$ et $v ec A C$ , puis applique $v ec u c d o t v ec v = x_{u} x_{v} + y_{u} y_{v}$ .

Pour le projeté orthogonal $H$ , utilise la relation $v ec A H = df r a c v ec A B c d o t v ec A C ∣ v ec A B ∣^{2}, v ec A B$ .

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