Loi du parallélogramme et produit scalaire

Difficile

Énoncé

Soit $A B C D$ un parallélogramme.

1) Montrer que $A C \cdot A C + B D \cdot B D = 2 (A B \cdot A B + A D \cdot A D)$ , c'est-à-dire $A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2})$ .

(Indication : on pourra utiliser $A C = A B + A D$ et $B D = A D - A B$ .)

2) On donne $A B = 5$ , $A D = 7$ et $A C = 9$ . Calculer $B D$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, commence par écrire $\vec{AC} \cdot \vec{AC}$ en remplaçant $\vec{AC}$ par $\vec{AB}+\vec{AD}$, puis développe le produit scalaire. Fais la même chose avec $\vec{BD} \cdot \vec{BD}$.

2 Indice 2

En développant, tu vas obtenir des termes en $+2\vec{AB}\cdot\vec{AD}$ et $-2\vec{AB}\cdot\vec{AD}$. Observe ce qui se passe quand tu additionnes les deux expressions : ces termes vont se simplifier !

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Pour la question 1, commence par écrire $A C \cdot A C$ en remplaçant $A C$ par $A B + A D$ , puis développe le produit scalaire. Fais la même chose avec $B D \cdot B D$ .

En développant, tu vas obtenir des termes en $+ 2 A B \cdot A D$ et $- 2 A B \cdot A D$ . Observe ce qui se passe quand tu additionnes les deux expressions : ces termes vont se simplifier !

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