Soit A B C un triangle, I le milieu de [ B C ] et J le point du segment [ A C ] tel que A J = 3 1 A C . Les droites ( A I ) et ( B J ) se coupent en un point K . Montrer que K est le barycentre de ( A , 2 ) , ( B , 1 ) et ( C , 1 ) .

Intersection de deux droites par le barycentre

Difficile

Énoncé

Soit $A B C$ un triangle, $I$ le milieu de $[B C]$ et $J$ le point du segment $[A C]$ tel que $A J = \frac{1}{3} A C$ . Les droites $(A I)$ et $(B J)$ se coupent en un point $K$ .

Montrer que $K$ est le barycentre de $(A, 2)$ , $(B, 1)$ et $(C, 1)$ .

Indices

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1 Indice 1

Commence par noter $K'$ le barycentre de $(A,2)$, $(B,1)$ et $(C,1)$. Ton objectif est de montrer que $K'$ appartient aux deux droites $(AI)$ et $(BJ)$.

2 Indice 2

Utilise l'associativité du barycentre : puisque $I$ est le milieu de $[BC]$, c'est le barycentre de $(B,1)$ et $(C,1)$. Que peux-tu dire alors sur $K'$ avec les points $A$ et $I$ ?

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Commence par noter $K^{'}$ le barycentre de $(A, 2)$ , $(B, 1)$ et $(C, 1)$ . Ton objectif est de montrer que $K^{'}$ appartient aux deux droites $(A I)$ et $(B J)$ .

Utilise l'associativité du barycentre : puisque $I$ est le milieu de $[B C]$ , c'est le barycentre de $(B, 1)$ et $(C, 1)$ . Que peux-tu dire alors sur $K^{'}$ avec les points $A$ et $I$ ?

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