On considère la fonction f définie sur R ∖ { 2 } par f ( x ) = x − 2 x 2 − 4 x + 5 . 1) Montrer que f ′ ( x ) = ( x − 2 ) 2 ( x − 1 ) ( x − 3 ) . 2) Étudier le signe de f ′ ( x ) sur R ∖ { 2 } . 3) Calculer f ( 1 ) et f ( 3 ) . 4) On admet que x → 2 − lim f ( x ) = − ∞ , x → 2 + lim f ( x ) = + ∞ , x → − ∞ lim f ( x ) = − ∞ et x → + ∞ lim f ( x ) = + ∞ . Dresser le tableau de variation complet de f . 5) Préciser les extremums locaux de f .

Tableau de variation complet d'une fonction rationnelle

Difficile

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $R ∖ {2}$ par $f (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 5}{x - 2}$ .

1) Montrer que $f^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}}$ .

2) Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $R ∖ {2}$ .

3) Calculer $f (1)$ et $f (3)$ .

4) On admet que $x \to 2^{-} lim f (x) = - \infty$ , $x \to 2^{+} lim f (x) = + \infty$ , $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ et $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ . Dresser le tableau de variation complet de $f$ .

5) Préciser les extremums locaux de $f$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer la dérivée de $f(x) = \dfrac{x^2-4x+5}{x-2}$, utilise la formule du quotient : $f'(x) = \dfrac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{[v(x)]^2}$.

2 Indice 2

Après avoir appliqué la formule, développe le numérateur et simplifie-le. Tu devrais obtenir un trinôme $x^2-4x+3$ que tu peux factoriser en cherchant deux nombres dont la somme est $-4$ et le produit est $3$.

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Pour calculer la dérivée de $f (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 5}{x - 2}$ , utilise la formule du quotient : $f^{'} (x) = \frac{u ^{'} ( x ) \times v ( x ) - u ( x ) \times v ^{'} ( x )}{[ v ( x ) ] ^{2}}$ .

Après avoir appliqué la formule, développe le numérateur et simplifie-le. Tu devrais obtenir un trinôme $x^{2} - 4 x + 3$ que tu peux factoriser en cherchant deux nombres dont la somme est $- 4$ et le produit est $3$ .

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