Étude d'une fonction homographique simple

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{2x-1}{x+2}$.

1) Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$.

2) Montrer que pour tout $x\in D_f$, $f(x)=2-\frac{5}{x+2}$, puis en déduire les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Que peut-on dire de la droite d'équation $y=2$ ?

3) Calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.