Fonction rationnelle avec asymptote oblique et extrema irrationnels

Difficile
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Énoncé

Soit la fonction définie par .

1) Déterminer le domaine de définition et calculer les limites de aux bornes de .

2) Vérifier que pour tout , puis en déduire que la droite est asymptote oblique à la courbe de .

3) Calculer , résoudre l'équation , et dresser le tableau de variations de (les valeurs des extrema seront données sous forme exacte).

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, commence par identifier la valeur de $x$ qui annule le dénominateur : c'est la valeur interdite qui détermine $D_f$. Ensuite, pour les limites aux bornes, observe le degré du numérateur par rapport au dénominateur.
2 Indice 2
Pour la question 2, développe $(x+2)(x-1)$ et ajoute $3$ au numérateur obtenu. Tu devrais retrouver $x^2+x+1$. Pour l'asymptote oblique, calcule $f(x)-(x+2)$ et montre que ce terme tend vers $0$ quand $x \to \pm\infty$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, commence par identifier la valeur de qui annule le dénominateur : c'est la valeur interdite qui détermine . Ensuite, pour les limites aux bornes, observe le degré du numérateur par rapport au dénominateur.

Pour la question 2, développe et ajoute au numérateur obtenu. Tu devrais retrouver . Pour l'asymptote oblique, calcule et montre que ce terme tend vers quand .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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