Une identité vectorielle avec le milieu d'un segment

Difficile
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Énoncé

Soient et deux points distincts du plan et le milieu du segment .

1) Démontrer que pour tout point du plan, .

2) Application : dans un repère orthonormé, on donne , et . Vérifier l'égalité précédente à l'aide des coordonnées.

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, commence par exprimer les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ en fonction de $\vec{MI}$, $\vec{IA}$ et $\vec{IB}$. Rappelle-toi que $I$ est le milieu, donc $\vec{IB} = -\vec{IA}$.
2 Indice 2
Calcule séparément $MA^2 = \vec{MA} \cdot \vec{MA}$ et $MB^2 = \vec{MB} \cdot \vec{MB}$ en développant ces produits scalaires. En faisant la différence, plusieurs termes vont se simplifier.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, commence par exprimer les vecteurs et en fonction de , et . Rappelle-toi que est le milieu, donc .

Calcule séparément et en développant ces produits scalaires. En faisant la différence, plusieurs termes vont se simplifier.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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