Suite récurrente : encadrement

Difficile
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Soit et . Montrer par récurrence que pour tout .

Indices

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1 Indice 1
Vérifie d'abord l'initialisation : calcule $u_0$ et vérifie qu'il appartient bien à $[1,2]$.
2 Indice 2
Pour l'hérédité, suppose $1\leq u_n\leq 2$ et déduis un encadrement de $u_n+1$.
3 Indice 3
Applique la fonction racine carrée (croissante) à cet encadrement pour obtenir un encadrement de $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$, puis compare les bornes obtenues à $1$ et $2$.

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La méthode — par où commencer

Vérifie d'abord l'initialisation : calcule et vérifie qu'il appartient bien à .

Pour l'hérédité, suppose et déduis un encadrement de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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