Suite avec racine carrée et récurrence

Difficile

Énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = u_{n} + 12$ .

1) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .

2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $0 \leq u_{n} \leq 4$ .

3) Montrer que $(u_{n})$ est croissante.

Indices

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1 Indice 1

Pour $u_1$ et $u_2$, remplace simplement $u_0=1$ dans la formule de recurrence $u_{n+1}=\sqrt{u_n+12}$, puis recommence avec $u_1$.

2 Indice 2

Pour la recurrence, suppose $0\leq u_n\leq 4$ et utilise la croissance de la racine carree sur l'inegalite $u_n+12\leq 16$ pour encadrer $u_{n+1}$.

3 Indice 3

Pour la croissance, etudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ en multipliant par la quantite conjuguee ; factorise le numerateur obtenu en utilisant l'encadrement $0\leq u_n\leq 4$.

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Pour $u_{1}$ et $u_{2}$ , remplace simplement $u_{0} = 1$ dans la formule de recurrence $u_{n + 1} = u_{n} + 12$ , puis recommence avec $u_{1}$ .

Pour la recurrence, suppose $0 \leq u_{n} \leq 4$ et utilise la croissance de la racine carree sur l'inegalite $u_{n} + 12 \leq 16$ pour encadrer $u_{n + 1}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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