Soit ( u n ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = − 30 et de raison r = 4 . On note S n = u 0 + u 1 + ⋯ + u n . 1) Exprimer u n en fonction de n . 2) Montrer que S n = ( n + 1 ) ( 2 n − 30 ) . 3) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que S n > 0 .

Somme d'une suite arithmétique et inéquation

Difficile

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite arithmétique de premier terme $u_{0} = - 30$ et de raison $r = 4$ . On note $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ .

1) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

2) Montrer que $S_{n} = (n + 1) (2 n - 30)$ .

3) Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $S_{n} > 0$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 3, commence par factoriser l'expression de $S_n$ et étudie le signe de chacun des facteurs $(n+1)$ et $(2n-30)$.

2 Indice 2

Le facteur $(n+1)$ est toujours positif pour $n \geq 0$. Il te reste à résoudre l'inéquation $2n - 30 > 0$ pour trouver à partir de quelle valeur $S_n$ devient positif.

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Pour la question 3, commence par factoriser l'expression de $S_{n}$ et étudie le signe de chacun des facteurs $(n + 1)$ et $(2 n - 30)$ .

Le facteur $(n + 1)$ est toujours positif pour $n \geq 0$ . Il te reste à résoudre l'inéquation $2 n - 30 > 0$ pour trouver à partir de quelle valeur $S_{n}$ devient positif.

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