Suite u_(n+1) = (1/2)u_n + 3 et somme des termes

Difficile

Énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .

1) On pose $v_{n} = u_{n} - 6$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

2) Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .

3) Calculer la somme $T = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ en fonction de $n$ .

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1 Indice 1

Exprime $v_{n+1}=u_{n+1}-6$ en remplacant $u_{n+1}$ par sa formule, puis fais apparaitre $v_n=u_n-6$.

2 Indice 2

Une fois $(v_n)$ geometrique trouvee, utilise $v_n=v_0 q^n$ puis reviens a $u_n=v_n+6$.

3 Indice 3

Pour la somme, separe $T$ en une somme de constantes et une somme geometrique, et utilise la formule $\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Exprime $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 6$ en remplacant $u_{n + 1}$ par sa formule, puis fais apparaitre $v_{n} = u_{n} - 6$ .

Une fois $(v_{n})$ geometrique trouvee, utilise $v_{n} = v_{0} q^{n}$ puis reviens a $u_{n} = v_{n} + 6$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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