Équation du type a cos x + b sin x

Difficile
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Énoncé

On considère l'équation .

1) Montrer que .

2) En déduire les solutions de l'équation dans .

Indices

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1 Indice 1
Développe $2\cos(x-\pi/3)$ avec la formule $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ en remplaçant $\cos(\pi/3)$ et $\sin(\pi/3)$ par leurs valeurs exactes.
2 Indice 2
Une fois l'égalité admise, réécris l'équation initiale sous la forme $\cos(x-\pi/3) = 1/2$ et cherche les angles dont le cosinus vaut $1/2$.
3 Indice 3
N'oublie pas les deux familles de solutions ($x-\pi/3 = \pm\pi/3 + 2k\pi$) et ne garde que celles appartenant à $[0,2\pi[$.

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La méthode — par où commencer

Développe avec la formule en remplaçant et par leurs valeurs exactes.

Une fois l'égalité admise, réécris l'équation initiale sous la forme et cherche les angles dont le cosinus vaut .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Valeur exacte de sin(15°) et vérification Tous les exercices du chapitre Utilisation de cos(2a) pour trouver un cosinus