Inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs, et les vecteurs $\vec{u}\left(\sqrt{a};\sqrt{b}\right)$ et $\vec{v}\left(\frac{1}{\sqrt{a}};\frac{1}{\sqrt{b}}\right)$.

1. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à $\vec{u}$ et $\vec{v}$, montrer que $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$.

2. En utilisant l'inégalité triangulaire, montrer que $\sqrt{(a+\sqrt{a}{)}^2+(b+\sqrt{b}{)}^2}\le \sqrt{a+b}+\sqrt{a^2+b^2}$.