Dans un repère orthonormé direct, on considère A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( 2 ; 0 ; 0 ) , C ( 0 ; 3 ; 0 ) et D ( 0 ; 0 ; 4 ) . Calculer A B ∧ A C . En déduire le produit mixte ( A B ∧ A C ) ⋅ A D . Calculer le volume du tétraèdre A B C D .

Volume d'un tétraèdre

Intermédiaire

Énoncé

Dans un repère orthonormé direct, on considère $A (0; 0; 0)$ , $B (2; 0; 0)$ , $C (0; 3; 0)$ et $D (0; 0; 4)$ .

Calculer $A B \land A C$ .
En déduire le produit mixte $(A B \land A C) \cdot A D$ .
Calculer le volume du tétraèdre $A B C D$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer le produit vectoriel $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, commence par écrire les coordonnées de ces deux vecteurs en utilisant les points donnés, puis applique la formule du produit vectoriel composante par composante.

2 Indice 2

Une fois que tu as trouvé $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, calcule le produit scalaire avec $\overrightarrow{AD}$. Pour le volume du tétraèdre, rappelle-toi la formule : $V = \dfrac{1}{6}|produit\,mixte|$.

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Pour calculer le produit vectoriel $A B \land A C$ , commence par écrire les coordonnées de ces deux vecteurs en utilisant les points donnés, puis applique la formule du produit vectoriel composante par composante.

Une fois que tu as trouvé $A B \land A C$ , calcule le produit scalaire avec $A D$ . Pour le volume du tétraèdre, rappelle-toi la formule : $V = \frac{1}{6} ∣ p r o d u i t mi x t e ∣$ .

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