Composition de rotations de centres distincts

Intermédiaire
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Énoncé

Soient la rotation de centre A(1, 0) et d'angle , et la rotation de centre B(0, 1) et d'angle .

  1. Donner les écritures complexes de et .
  2. Déterminer : nature de la transformation et, si c'est une rotation, son centre.

Indices

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1 Indice 1
Pour écrire une rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\theta$, utilise la forme $z' = e^{i\theta}(z - \omega) + \omega$. Identifie bien le centre et l'angle de chaque rotation avant d'écrire leur expression complexe.
2 Indice 2
Pour la composée $R_2 \circ R_1$, remplace $z$ par l'expression de $R_1$ dans la formule de $R_2$, puis développe et factorise pour obtenir la forme $z' = az + b$. L'angle total est la somme des deux angles : que remarques-tu ?

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La méthode — par où commencer

Pour écrire une rotation de centre d'affixe et d'angle , utilise la forme . Identifie bien le centre et l'angle de chaque rotation avant d'écrire leur expression complexe.

Pour la composée , remplace par l'expression de dans la formule de , puis développe et factorise pour obtenir la forme . L'angle total est la somme des deux angles : que remarques-tu ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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