Étude complète : limites, asymptotes et continuité (type examen)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

$$f(x)=\frac{-3x^2+14x-8}{x-2}.$$

On note $({\mathcal{C}}_f)$ sa courbe représentative.

1. Calculer $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)$ après avoir étudié le signe du numérateur en $x=2$. Que peut-on en déduire ?

2. Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ tels que, pour $x\ne 2$ : $f(x)=ax+b+\frac{c}{x-2}$.

3. En déduire que $({\mathcal{C}}_f)$ admet une asymptote oblique $(\Delta )$ dont on donnera l'équation, puis étudier la position de $({\mathcal{C}}_f)$ par rapport à $(\Delta )$.