Étude de f(x)=x-2ln x et signe

Difficile
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Énoncé

Soit la fonction définie sur par .

  1. Calculer les limites de en et en .
  2. Étudier les variations de et dresser son tableau de variations.
  3. En déduire le signe de et le nombre de solutions de l'équation .

Indices

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1 Indice 1
Pour les limites, souviens-toi que $-2\\ln x \\to +\\infty$ quand $x \\to 0^+$, et factorise par $x$ en $+\\infty$ en utilisant $\\dfrac{\\ln x}{x}\\to 0$.
2 Indice 2
Dérive $f$ : $f'(x) = 1 - \\dfrac{2}{x}$, mets au même dénominateur et étudie le signe de $x-2$.
3 Indice 3
Compare le minimum de $f$ (obtenu en $x=2$) à $0$ pour conclure sur le nombre de solutions de $f(x)=0$.

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La méthode — par où commencer

Pour les limites, souviens-toi que quand , et factorise par en en utilisant .

Dérive : , mets au même dénominateur et étudie le signe de .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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