Asymptote oblique d'une fonction irrationnelle en −∞

Difficile
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Énoncé

Soit . Déterminer l'asymptote oblique à la courbe de en .

Indices

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1 Indice 1
Pour $x<0$, factorise $x^2$ sous la racine en écrivant $\sqrt{x^2+x+1} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$, en n'oubliant pas que $|x|=-x$.
2 Indice 2
Cela suggère une asymptote de pente $-1$ ; teste une droite de la forme $y = -x + b$ et calcule $f(x) - (-x+b)$ en multipliant par la quantité conjuguée.
3 Indice 3
Détermine $b$ pour que le numérateur de l'expression obtenue après multiplication par le conjugué soit une constante, puis vérifie que la limite du quotient est bien $0$ en $-\infty$.

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La méthode — par où commencer

Pour , factorise sous la racine en écrivant , en n'oubliant pas que .

Cela suggère une asymptote de pente ; teste une droite de la forme et calcule en multipliant par la quantité conjuguée.

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