Soit f ( x ) = x 2 + x + 1 . Montrer que la droite y = x + 2 1 est asymptote oblique à la courbe de f en + ∞ .

Asymptote oblique d'une fonction irrationnelle en +∞

Difficile

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2} + x + 1$ . Montrer que la droite $y = x + \frac{1}{2}$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+ \infty$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer qu'une droite $y=ax+b$ est asymptote, il faut étudier la limite de $f(x) - (ax+b)$ quand $x \to +\infty$.

2 Indice 2

L'expression $\sqrt{x^2+x+1} - \left(x+\frac{1}{2}\right)$ est une forme indéterminée $\infty - \infty$ : multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{x^2+x+1} + \left(x+\frac{1}{2}\right)$.

3 Indice 3

Développe le numérateur obtenu (une différence de carrés) : il devrait se simplifier en une constante, ce qui te permettra de conclure sur la limite.

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Pour montrer qu'une droite $y = a x + b$ est asymptote, il faut étudier la limite de $f (x) - (a x + b)$ quand $x \to + \infty$ .

L'expression $x^{2} + x + 1 - (x + \frac{1}{2})$ est une forme indéterminée $\infty - \infty$ : multiplie par la quantité conjuguée $x^{2} + x + 1 + (x + \frac{1}{2})$ .

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