Résoudre des équations de divisibilité

Intermédiaire Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Mohammed Aassila — Objectif Olympiades de Mathématiques, Tome 5 : Arithmétique
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Trouver les tels que :

  1. .
  2. .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour chaque condition de divisibilité, commence par effectuer la division euclidienne : écris $11n+8 = q(3n+4) + r$ pour trouver le reste $r$ en fonction de $n$. La divisibilité impose que ce reste soit nul.
2 Indice 2
Une fois le reste exprimé, tu peux majorer le quotient. Par exemple, si $(3n+4)|(11n+8)$, alors $|11n+8| \geq |3n+4| \times |k|$ où $k$ est le quotient entier. Cela te donne une borne sur $|n|$ pour limiter les valeurs à tester.

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La méthode — par où commencer

Pour chaque condition de divisibilité, commence par effectuer la division euclidienne : écris pour trouver le reste en fonction de . La divisibilité impose que ce reste soit nul.

Une fois le reste exprimé, tu peux majorer le quotient. Par exemple, si , alors où est le quotient entier. Cela te donne une borne sur pour limiter les valeurs à tester.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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