Détermination expérimentale de l'inductance et rupture du courant

On étudie un circuit série comportant un générateur idéal de force électromotrice $E=24\text{V}$, un conducteur ohmique de résistance $R=200\Omega$ et une bobine d'inductance $L$ inconnue et de résistance interne $r=40\Omega$. À $t=0$ on ferme l'interrupteur et on enregistre la courbe $i(t)$. Sur l'enregistrement, on constate que la tangente à la courbe à l'instant $t=0$ coupe l'asymptote horizontale correspondant au régime permanent à la date $t=2,0\text{ms}$.

1) Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$ et calculer l'intensité $I_p$ du courant en régime permanent. 2) Démontrer que la tangente à l'origine coupe l'asymptote $i=I_p$ à la date $t=\tau$. En déduire la valeur de $\tau$, puis celle de l'inductance $L$. 3) Calculer la pente de la tangente à l'origine par deux méthodes différentes et vérifier leur cohérence. 4) Calculer l'énergie magnétique emmagasinée par la bobine en régime permanent. 5) Une fois le régime permanent atteint, on bascule un interrupteur qui court-circuite le générateur : la bobine et les résistances restent en circuit fermé. Établir la nouvelle équation différentielle, donner l'expression de $i(t)$, puis calculer la durée au bout de laquelle l'intensité n'est plus que $10\%$ de $I_p$. 6) Quelle énergie est dissipée par effet Joule au cours de cette rupture ? Expliquer pourquoi une étincelle jaillit si l'on ouvre brutalement le circuit sans prévoir de boucle de décharge.