Inégalité ln(x) ≤ x − 1 et application

On pose $h(x)=x-1-\ln (x)$ pour $x>0$.

1. Calculer $h^{\prime }(x)$ et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de $h$ et en déduire que $\ln (x)\le x-1$ pour tout $x>0$.
3. Appliquer l'inégalité avec $x=\frac{1}{2}$ pour comparer $\ln (2)$ et $\frac{1}{2}$.
4. Appliquer l'inégalité avec $x=2$ pour comparer $\ln (2)$ et $\frac{1}{2}$ autrement.