Circuit RLC amorti : pseudo-période, dissipation et régime critique

Difficile
Partager

Énoncé

Un condensateur de capacité est chargé sous une tension , puis relié à une bobine d'inductance en série avec un conducteur ohmique. La résistance totale du circuit est notée . L'oscillogramme de la tension montre un régime pseudo-périodique : on y mesure pseudo-périodes complètes en , et l'amplitude de la tension, initialement de , n'est plus que de au bout de ces pseudo-périodes.
Oscillogramme d'un circuit RLC amortiGraphique de la tension aux bornes du condensateur d'un circuit RLC série en fonction du temps. La courbe oscille de part et d'autre de l'axe des abscisses en changeant de signe à chaque demi-oscillation, tandis que son amplitude décroît régulièrement. Deux courbes en pointillés rouges, symétriques par rapport à l'axe, forment l'enveloppe qui matérialise cette décroissance. L'axe des temps est gradué en multiples de la pseudo-période T, ce qui montre que l'intervalle entre deux maxima successifs reste constant alors même que l'amplitude diminue. Un encadré rappelle les trois lectures : deux maxima successifs donnent la pseudo-période, la décroissance traduit la dissipation d'énergie, et l'amplitude initiale donne la tension de charge.Oscillogramme de la tension aux bornes du condensateurL'amplitude décroît d'une oscillation à l'autre, mais la pseudo-période reste constantetuC (V)T2T3T4TU₀0−U₀enveloppeCe que donne la courbedeux maxima successifs → Tla décroissance → dissipationl'amplitude initiale → U₀
L'amplitude décroît mais l'écart entre deux maxima ne change pas : c'est ce qui définit la pseudo-période.
1) Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension . 2) Calculer la période propre du circuit et la comparer à la pseudo-période mesurée. Que peut-on en conclure sur l'amortissement ? 3) Calculer l'énergie totale du circuit à l'instant initial. 4) Calculer l'énergie restant dans le circuit au bout des pseudo-périodes, l'énergie dissipée, ainsi que le pourcentage de l'énergie initiale qui a été perdue. 5) Montrer que la résistance critique, qui sépare le régime pseudo-périodique du régime apériodique, s'écrit , puis la calculer. Quel régime observerait-on avec une résistance totale de ? avec une résistance de ? 6) Comment procède-t-on expérimentalement pour entretenir ces oscillations ?

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
La pseudo-période se lit en divisant la durée totale par le nombre de pseudo-périodes comptées. Compare-la ensuite à $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.
2 Indice 2
L'énergie restante se calcule avec l'amplitude finale, non l'initiale. La démonstration de $R_c$ passe par le discriminant de l'équation caractéristique.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

La pseudo-période se lit en divisant la durée totale par le nombre de pseudo-périodes comptées. Compare-la ensuite à .

L'énergie restante se calcule avec l'amplitude finale, non l'initiale. La démonstration de passe par le discriminant de l'équation caractéristique.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Oscillations libres non amorties dans un circuit LC Tous les exercices du chapitre Entretenir les oscillations d'un circuit RLC