Simplifier au maximum : 8 n × 3 n 6 n × 4 n + 1 2 n + 2 − 2 n + 1 2 n + 1 + 2 n Montrer que pour tout entier n : 3 2 n + 2 − 3 2 n est divisible par 8.

Simplification de fractions avec puissances

Difficile

Énoncé

Simplifier au maximum :

$\frac{6 ^{n} \times 4 ^{n + 1}}{8 ^{n} \times 3 ^{n}}$
$\frac{2 ^{n + 1} + 2 ^{n}}{2 ^{n + 2} - 2 ^{n + 1}}$
Montrer que pour tout entier $n$ : $3^{2 n + 2} - 3^{2 n}$ est divisible par 8.

Indices

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1 Indice 1

Pour 1) et 2), réécris chaque puissance en base $2$ et $3$ (par exemple $6^n=2^n\\times 3^n$, $4^{n+1}=2^{2n+2}$, $8^n=2^{3n}$) pour simplifier les fractions.

2 Indice 2

Pour 3), factorise $3^{2n+2}-3^{2n}$ par le facteur commun $3^{2n}$ et calcule $3^2-1$.

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Pour 1) et 2), réécris chaque puissance en base $2$ et $3$ (par exemple $6^{n} = 2^{n} t im es 3^{n}$ , $4^{n + 1} = 2^{2 n + 2}$ , $8^{n} = 2^{3 n}$ ) pour simplifier les fractions.

Pour 3), factorise $3^{2 n + 2} - 3^{2 n}$ par le facteur commun $3^{2 n}$ et calcule $3^{2} - 1$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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