Dans un triangle A B C , M est sur [ A B ] et N sur [ A C ] avec ( M N ) ∥ ( B C ) . On donne A M = 4 cm, M B = 6 cm et l'aire du triangle A B C vaut 50 cm 2 . Déterminer le rapport de similitude k entre A M N et A B C . Calculer l'aire du triangle A M N .

Cascade de triangles semblables (Thalès)

Difficile

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Dans un triangle $A B C$ , $M$ est sur $[A B]$ et $N$ sur $[A C]$ avec $(M N) ∥ (B C)$ . On donne $A M = 4$ cm, $M B = 6$ cm et l'aire du triangle $A B C$ vaut $50$ cm $^{2}$ .

Déterminer le rapport de similitude $k$ entre $A M N$ et $A B C$ .
Calculer l'aire du triangle $A M N$ .

Indices

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1 Indice 1

Puisque $(MN) \\parallel (BC)$, les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables (angles correspondants egaux). Calculez d'abord $AB = AM + MB$.

2 Indice 2

Le rapport de similitude est $k = \\dfrac{AM}{AB}$.

3 Indice 3

Le rapport des aires de deux triangles semblables est le carre du rapport de similitude : aire($AMN$) $= k^2 \\times$ aire($ABC$).

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Puisque $(M N) p a r a l l e l (B C)$ , les triangles $A M N$ et $A B C$ sont semblables (angles correspondants egaux). Calculez d'abord $A B = A M + M B$ .

Le rapport de similitude est $k = df r a c A M A B$ .

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