Soit les suites ( a n ) et ( b n ) définies par : a 0 = 0 , b 0 = 1 , et a n + 1 = 2 a n + b n , b n + 1 = b n . 1) Calculer a 1 , a 2 , a 3 . 2) Montrer que a n = 1 − ( 2 1 ) n . 3) Vers quelle valeur commune convergent a n et b n ?

Suite imbriquée (encadrement)

Difficile

Énoncé

Soit les suites ( $a_{n}$ ) et ( $b_{n}$ ) définies par : $a_{0} = 0$ , $b_{0} = 1$ , et $a_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}$ , $b_{n + 1} = b_{n}$ .

1) Calculer $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ .
2) Montrer que $a_{n} = 1 - (\frac{1}{2})^{n}$ .
3) Vers quelle valeur commune convergent $a_{n}$ et $b_{n}$ ?

Indices

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1 Indice 1

Comme $b_n=1$ pour tout $n$, remplace $b_n$ par 1 dans la relation $a_{n+1}=\\frac{a_n+b_n}{2}$ pour calculer $a_1,a_2,a_3$.

2 Indice 2

Pour l'hérédité, suppose $a_n=1-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$ et calcule $a_{n+1}=\\frac{a_n+1}{2}$ en remplaçant.

3 Indice 3

La limite de $a_n$ s'obtient en utilisant $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^n \\to 0$.

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Comme $b_{n} = 1$ pour tout $n$ , remplace $b_{n}$ par 1 dans la relation $a_{n + 1} = f r a c a_{n} + b_{n} 2$ pour calculer $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ .

Pour l'hérédité, suppose $a_{n} = 1 - l e f t (f r a c 12 r i g h t)^{n}$ et calcule $a_{n + 1} = f r a c a_{n} + 1 2$ en remplaçant.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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