🧭 Nombres complexes Question sur 2 pts

Équation dans ℂ + forme trigonométrique

Discriminant, racines, module, argument : chaque bloc rapporte ses points indépendamment.

📋 L'énoncé

1) Résoudre dans $C$ l'équation $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ .

2) Soit $z_{0} = 1 + i 3$ l'une des solutions. Écrire $z_{0}$ sous forme trigonométrique.

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Calcul du discriminant : $Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = - 12$ .
+0,25

💡 Poser et calculer correctement le discriminant est la première étape barémée, même avant de conclure.
2

Écriture de $Δ$ comme un carré : $Δ = - 12 = (2 i 3)^{2}$ car $(2 i 3)^{2} = 4 i^{2} \times 3 = - 12$ .
+0,25

💡 Mettre $Δ$ sous la forme $(ib)^{2}$ justifie le passage aux racines complexes : ligne indépendante.
3

Première racine : $z_{1} = \frac{2 + 2 i 3}{2} = 1 + i 3$ .
+0,25

💡 La formule $z = \frac{- b + Δ}{2 a}$ correctement appliquée rapporte ses points, racine par racine.
4

Seconde racine : $z_{2} = \frac{2 - 2 i 3}{2} = 1 - i 3$ . Donc $S = (1 + i 3; 1 - i 3)$ .
+0,25

💡 La deuxième racine et l'ensemble des solutions sont comptés à part : on grappille même si la première est ratée.
5

Module de $z_{0}$ : $∣ z_{0} ∣ = 1^{2} + (3)^{2} = 1 + 3 = 4 = 2$ .
+0,25

💡 Le module se calcule indépendamment de l'argument : un point sûr dès qu'on connaît la formule.
6

Système cos/sin : $cos (θ) = \frac{1}{2}$ et $sin (θ) = \frac{3}{2}$ avec $θ = ar g (z_{0})$ .
+0,25

💡 Poser le système $cos$ ET $sin$ proprement rapporte, même si l'angle final n'est pas encore identifié.
7

Identification de l'argument : $θ = \frac{π}{3} [2 π]$ car $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ et $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ .
+0,25

💡 L'argument correct, déduit du système, est barémé séparément du système lui-même.
8

Forme trigonométrique finale : $z_{0} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ .
+0,25

💡 La conclusion qui assemble module et argument en une écriture correcte vaut la dernière part de points.

Total de la question 2 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Ne jamais laisser une copie blanche : ce sujet est découpé en blocs qui se notent séparément.

Écrire le discriminant $Δ = - 12$ rapporte déjà des points, avant même de trouver les racines.
Le module $∣ z_{0} ∣ = 2$ se calcule seul : donne-le toujours, il est indépendant de l'argument.
Pose le système $cos (θ) = \frac{1}{2}$ ET $sin (θ) = \frac{3}{2}$ : il rapporte même si tu te trompes d'angle à la fin.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Une copie qui donne $∣ z_{0} ∣ = 2$ puis écrit directement $θ = \frac{π}{3}$ sans poser le système plafonne : le module passe mais l'argument n'est pas justifié ( $cos$ seul ne distingue pas $\frac{π}{3}$ de $- \frac{π}{3}$ ). Une copie qui pose $cos$ ET $sin$ , en déduit $θ = \frac{π}{3}$ et conclut $z_{0} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ décroche la note maximale.