📈 Analyse Question sur 1,5 pts

Montrer qu'une équation a une unique solution (TVI)

Continuité, monotonie, signes aux bornes : chaque mot-clé du TVI rapporte des points. Voici comment tout rafler.

📋 L'énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = x^{3} + 3 x - 1$ .

Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans l'intervalle $[0; 1]$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

$f$ est une fonction polynôme, donc $f$ est continue sur $R$ , en particulier sur $[0; 1]$ .
+0,25

💡 La continuité est une hypothèse OBLIGATOIRE du TVI : la citer explicitement sur l'intervalle vaut un point garanti.
2

Pour tout $x \in R$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3$ .
+0,25

💡 Le calcul correct de la dérivée prépare l'étude du sens de variation, indispensable à l'unicité.
3

Pour tout $x \in R$ , $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 \geq 3 > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $[0; 1]$ .
+0,25

💡 Le signe de $f^{'}$ donne la stricte monotonie : c'est elle qui assurera l'unicité de la solution.
4

$f (0) = - 1$ et $f (1) = 3$ , donc $f (0) \times f (1) < 0$ (signes contraires).
+0,25

💡 Montrer que $0$ est compris entre $f (0)$ et $f (1)$ est l'autre hypothèse du TVI : sans ce calcul, pas d'existence.
5

$f$ étant continue et strictement croissante sur $[0; 1]$ avec $f (0) \times f (1) < 0$ , d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f (x) = 0$ admet au moins une solution $α \in] 0; 1 [$ .
+0,25

💡 Énoncer le TVI en reliant les hypothèses à la conclusion donne l'EXISTENCE de la solution.
6

La stricte monotonie de $f$ sur $[0; 1]$ assure l'unicité de cette solution.
+0,25

💡 C'est l'argument qui transforme « au moins une » en « exactement une » : la moitié de la conclusion.

Total de la question 1,5 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Le correcteur coche des mots-clés précis : tu peux ramasser presque tous les points sans même calculer $α$ .

Écris noir sur blanc « $f$ est continue sur $[0; 1]$ » : oublier ce mot fait perdre un point même si tout le reste est juste.
Donne explicitement $f (0)$ et $f (1)$ et conclus « signes contraires » : ce calcul à lui seul vaut un point et déclenche l'existence.
Même si tu rates l'unicité, citer continuité + signes aux bornes + TVI te rapporte déjà l'existence, soit la majorité de la note.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Une copie qui écrit « $f (0) < 0$ et $f (1) > 0$ donc il y a une solution » oublie de dire que $f$ est continue et ne justifie pas l'unicité par la stricte monotonie : elle perd la moitié des points. Une copie complète enchaîne proprement : $f$ continue sur $[0; 1]$ , $f$ strictement croissante (signe de $f^{'}$ ), $f (0) \times f (1) < 0$ , donc par le TVI l'équation admet une solution, et la stricte monotonie en garantit l'unicité.