🔢 Suites Question sur 1,75 pts

Une démonstration par récurrence

Dans une récurrence, l'initialisation et la bonne formulation de l'hypothèse rapportent des points sûrs, même bloqué.

📋 L'énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 2$ et pour tout $n \in N$ par $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 1$ . Montrer que pour tout $n \in N$ , on a $u_{n} > 1$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

On note $P (n)$ la propriété $u_{n} > 1$ et on annonce qu'on raisonne par récurrence sur $n$ .
+0,25

💡 Nommer la propriété et annoncer la méthode prouve au correcteur que la structure du raisonnement est maîtrisée.
2

Initialisation : pour $n = 0$ , $u_{0} = 2 > 1$ , donc $P (0)$ est vraie.
+0,25

💡 L'initialisation est un point automatique : il suffit de vérifier le premier rang, le correcteur ne peut pas le refuser.
3

Hérédité — hypothèse : soit $n \in N$ ; on suppose $P (n)$ vraie, c'est-à-dire $u_{n} > 1$ .
+0,25

💡 Poser proprement l'hypothèse de récurrence (« on suppose $P (n)$ vraie ») est valorisé indépendamment de la suite du calcul.
4

On montre $P (n + 1)$ , c'est-à-dire $u_{n + 1} > 1$ ; on part de $u_{n} > 1$ .
+0,25

💡 Énoncer clairement le but de l'hérédité montre que l'élève sait ce qu'il doit démontrer, ce qui oriente toute la rédaction.
5

De $u_{n} > 1$ on déduit $\frac{1}{2} u_{n} > \frac{1}{2}$ , donc $\frac{1}{2} u_{n} + 1 > \frac{3}{2}$ , soit $u_{n + 1} > \frac{3}{2}$ .
+0,25

💡 C'est le cœur du calcul : la chaîne d'inégalités correctement justifiée concentre la difficulté technique de la question.
6

Comme $\frac{3}{2} > 1$ , on a $u_{n + 1} > 1$ , donc $P (n + 1)$ est vraie : l'hérédité est établie.
+0,25

💡 Conclure l'hérédité en revenant à l'inégalité voulue $u_{n + 1} > 1$ ferme le raisonnement local sans laisser de trou.
7

Conclusion : $P (0)$ est vraie et $P (n) \Rightarrow P (n + 1)$ , donc par récurrence, pour tout $n \in N$ , $u_{n} > 1$ .
+0,25

💡 La phrase de conclusion type récurrence est exigée : sans elle le raisonnement reste inachevé pour le correcteur.

Total de la question 1,75 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même si tu bloques sur le calcul de l'hérédité, ne rends jamais une copie vide : la structure de la récurrence rapporte à elle seule la moitié des points.

Écris tout de suite l'initialisation : vérifier $u_{0} = 2 > 1$ prend dix secondes et c'est un point garanti.
Pose l'hypothèse de récurrence en toutes lettres : « Soit $n \in N$ , supposons $u_{n} > 1$ » et écris ce que tu veux montrer « montrons $u_{n + 1} > 1$ » : deux phrases qui rapportent même sans finir le calcul.
Si tu n'aboutis pas, écris quand même la phrase de conclusion type « donc par récurrence, pour tout $n \in N$ , $u_{n} > 1$ » : la démarche juste est valorisée.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Bâclée (≈ moitié des points) : « $u_{0} = 2$ . Si $u_{n} > 1$ alors $\frac{1}{2} u_{n} + 1 > 1$ donc c'est vrai. » Le calcul saute les étapes, l'hypothèse n'est pas posée comme telle, et il manque la phrase « par récurrence ». Le correcteur ne voit ni initialisation nommée ni conclusion : il ampute la moitié des points.

Soignée (note maximale) : on annonce $P (n)$ , on écrit « Initialisation : $u_{0} = 2 > 1$ », puis « Soit $n \in N$ , supposons $u_{n} > 1$ ; montrons $u_{n + 1} > 1$ », on déroule $u_{n} > 1 \Rightarrow \frac{1}{2} u_{n} + 1 > \frac{3}{2} > 1$ , et on termine par « donc par récurrence, pour tout $n \in N$ , $u_{n} > 1$ ». Chaque mot-clé déclenche un point.

🕵️

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