📊 Logarithme Question sur 4,5 pts

Étude d'une fonction avec ln (Sciences Exp)

Domaine, limites, dérivée, tableau de variations : où vont les points au Bac SE.

📋 L'énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par : $f (x) = x - ln x$ .

Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .
Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .
Calculer $f^{'} (x)$ pour tout $x$ de $] 0; + \infty [$ , puis étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
En déduire que $f (x) > 0$ pour tout $x > 0$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Ensemble de définition : $ln x$ exige $x > 0$ , donc $D_{f} =] 0; + \infty [$ .
+0,5

💡 Justifier la condition $x > 0$ du logarithme, pas seulement recopier l'énoncé.
2

Limite en $0^{+}$ : $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ donc $x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty$ .
+0,5

💡 Le correcteur veut voir la limite de $ln x$ citée, puis $0 - (- \infty) = + \infty$ .
3

Limite en $+ \infty$ : $f (x) = x (1 - \frac{ln x}{x})$ et $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ , donc $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .
+0,75

💡 La croissance comparée $\frac{ln x}{x} \to 0$ est l'argument-clé : sans elle, forme indéterminée $+ \infty - \infty$ .
4

Dérivée : $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ .
+0,5

💡 Dérivée de $ln x$ égale $\frac{1}{x}$ ; mettre au même dénominateur facilite l'étude du signe.
5

Signe de $f^{'}$ : sur $] 0; + \infty [$ , $x > 0$ donc le signe est celui de $x - 1$ ; $f^{'} (x) < 0$ sur $] 0; 1 [$ et $f^{'} (x) > 0$ sur $] 1; + \infty [$ .
+0,5

💡 Justifier que le dénominateur $x$ est positif, sinon le signe n'est pas valable.
6

Extremum : $f$ admet un minimum en $x = 1$ , avec $f (1) = 1 - ln 1 = 1$ .
+0,5

💡 Calculer la valeur $f (1) = 1$ et non se contenter de dire « il y a un minimum ».
7

Tableau de variations : $f$ décroissante sur $] 0; 1 [$ , croissante sur $] 1; + \infty [$ , avec limites $+ \infty$ aux bornes et minimum $1$ .
+0,75

💡 Le tableau doit faire apparaître les deux limites, la valeur $1$ et les flèches cohérentes.
8

Conclusion : le minimum de $f$ vaut $1 > 0$ , donc $f (x) \geq 1 > 0$ pour tout $x > 0$ .
+0,5

💡 Relier explicitement le minimum au signe : « le plus petit est positif donc tout est positif ».

Total de la question 4,5 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même bloqué, ces points se ramassent presque toujours :

Le domaine est offert : $ln x$ existe $⟺ x > 0$ , donc $D_{f} =] 0; + \infty [$ . Une ligne, un demi-point.
La limite en $0^{+}$ ne demande que $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ . Pose-la et conclus.
La dérivée rapporte même si tu rates la suite : $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x}$ se calcule terme à terme.
Le tableau est noté pour sa cohérence : reporte tes limites et ta valeur en $1$ .

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Bâclée : tableau dessiné sans domaine, sans limites justifiées, sans signe de $f^{'}$ : seul le squelette est crédité.

Complète : $D_{f} =] 0; + \infty [$ ; $0^{+} lim f = + \infty$ et $+ \infty lim f = + \infty$ (croissances comparées) ; $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ , signe de $x - 1$ car $x > 0$ ; minimum $f (1) = 1$ ; conclusion $f (x) \geq 1 > 0$ . Chaque « donc » justifié rapporte.