🎲 Probabilités Question sur 1,75 pts

Arbre, probabilités totales et Bayes

Où vont les points dans un exercice de probabilités conditionnelles : arbre, probabilités totales et formule renversée.

📋 L'énoncé

Une usine fabrique des composants électroniques à l'aide de deux machines $M_{1}$ et $M_{2}$ . La machine $M_{1}$ produit $60%$ des composants et la machine $M_{2}$ produit le reste. On constate que $3%$ des composants issus de $M_{1}$ sont défectueux, alors que $5%$ de ceux issus de $M_{2}$ le sont.

On prélève un composant au hasard dans la production. On considère les événements :

$M$ : « le composant provient de la machine $M_{1}$ » ;
$D$ : « le composant est défectueux ».

1) Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2) Calculer $p (M \cap D)$ , la probabilité que le composant provienne de $M_{1}$ et soit défectueux.

3) Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que $p (D) = 0, 038$ .

4) Un composant prélevé est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de la machine $M_{1}$ , c'est-à-dire $p_{D} (M)$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

On pose $p (M) = 0, 6$ et $p (\overline{M}) = 0, 4$ , puis on place sur les branches issues de $M$ : $p_{M} (D) = 0, 03$ et $p_{M} (\overline{D}) = 0, 97$ .
+0,25

💡 La traduction correcte des pourcentages en probabilités et probabilités conditionnelles est notée : le correcteur valide la lecture de l'énoncé.
2

On complète l'arbre par les branches issues de $\overline{M}$ : $p_{\overline{M}} (D) = 0, 05$ et $p_{\overline{M}} (\overline{D}) = 0, 95$ .
+0,25

💡 Un arbre complet et cohérent (chaque nœud somme à $1$ ) rapporte des points indépendamment des calculs qui suivent.
3

On écrit la formule de l'intersection puis on applique : $p (M \cap D) = p (M) \times p_{M} (D) = 0, 6 \times 0, 03 = 0, 018$ .
+0,25

💡 Poser la formule de l'intersection avant l'application numérique, puis calculer, est barémé.
4

On énonce la formule des probabilités totales : $p (D) = p (M) \times p_{M} (D) + p (\overline{M}) \times p_{\overline{M}} (D)$ .
+0,25

💡 Énoncer explicitement la formule des probabilités totales montre la maîtrise de la méthode et rapporte même sans le résultat final.
5

On calcule : $p (D) = 0, 018 + 0, 4 \times 0, 05 = 0, 018 + 0, 02 = 0, 038$ .
+0,25

💡 Le calcul aboutissant à la valeur attendue $p (D) = 0, 038$ ferme la question 3.
6

On pose la formule de la conditionnelle renversée : $p_{D} (M) = \frac{p ( M \cap D )}{p ( D )}$ .
+0,25

💡 Poser la définition de la probabilité conditionnelle (type Bayes) est noté indépendamment du calcul.
7

On applique et on interprète : $p_{D} (M) = \frac{0 , 018}{0 , 038} \approx 0, 474$ , soit environ $47, 4%$ des composants défectueux qui proviennent de $M_{1}$ .
+0,25

💡 L'application numérique correcte de la formule de Bayes, complétée d'une interprétation dans le contexte, achève la note.

Total de la question 1,75 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même sans terminer l'exercice, plusieurs points sont à ta portée :

Dessine l'arbre pondéré complet et correct : il rapporte des points sans aucun calcul, simplement en traduisant les pourcentages en probabilités.
Écris la formule des probabilités totales $p (D) = p (M) \times p_{M} (D) + p (\overline{M}) \times p_{\overline{M}} (D)$ avant tout calcul : la formule est notée même si tu te trompes dans le nombre final.
Pose toujours $p_{D} (M) = \frac{p ( M \cap D )}{p ( D )}$ : cette ligne rapporte des points même si le quotient final est faux ou non simplifié.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Un élève qui écrit directement « $0, 6 \times 0, 03 = 0, 018$ » puis « $p (D) = 0, 038$ » et « réponse $\approx 0, 474$ », sans jamais poser les formules $p (M \cap D) = p (M) \times p_{M} (D)$ ni la formule des probabilités totales, perd la moitié des points : les résultats sont justes mais la méthode n'est pas démontrée. L'élève qui pose chaque formule AVANT son application numérique, complète l'arbre et interprète le résultat final atteint la note maximale. Au Bac SM, la formule écrite vaut souvent autant que le résultat.