Polynôme à racines entières

National

Année : 2022

Source : Olympiade Régionale Marocaine

Énoncé du problème

Soit $P (x) = x^{3} - a x^{2} + b x - c$ un polynôme à coefficients entiers ayant trois racines entières positives $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ .

Exprimer $a$ , $b$ , $c$ en fonction de $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ .
Montrer que $a^{3} \geq 27 c$ .
Trouver tous les triplets $(r_{1}, r_{2}, r_{3})$ avec $r_{1} \leq r_{2} \leq r_{3}$ tels que $a = b$ .