I. العدد المشتق

بطريقة مكافئة، بوضع $h=x-a$:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

التفسير الهندسي

$f^{\prime }(a)$ هو معامل التوجيه للمماس للمنحنى $C_f$ عند النقطة ذات الفاصلة $a$.

معادلة المماس

$$T_a:y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$$

II. الدالة المشتقة

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في كل نقطة من مجال $I$، فإن الدالة التي تربط كل $x\in I$ بـ $f^{\prime }(x)$ تسمى الدالة المشتقة لـ $f$، ويرمز لها بـ $f^{\prime }$.

III. جدول المشتقات الاعتيادية

IV. قواعد الاشتقاق

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على $I$، و $k$ ثابت.

• $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
• $(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$
• $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
• ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ (إذا كان $v\ne 0$)
• ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$
• $(u^n{)}^{\prime }=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{\prime }$ (دالة أسية مركبة)
• $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ (إذا كان $u>0$)

V. العلاقة بين المشتقة واتجاه التغير

جدول التغيرات

لدراسة تغيرات $f$:

1. تحديد المجموعة $D_f$.
2. حساب $f^{\prime }(x)$.
3. دراسة إشارة $f^{\prime }(x)$.
4. إنشاء جدول التغيرات.

VI. القيم الحدية

تنبيه: العكس خاطئ. $f^{\prime }(x_0)=0$ لا يعني بالضرورة قيمة حدية (مثال: $f(x)=x^3$ في $x=0$).

معيار عملي

تقبل $f$ قيمة حدية في $x_0$ إذا غيرت $f^{\prime }$ إشارتها في $x_0$:

• $f^{\prime }$ تنتقل من موجب إلى سالب ← قيمة عظمى
• $f^{\prime }$ تنتقل من سالب إلى موجب ← قيمة صغرى

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

نص التمرين: لتكن $f(x)=x^3-3x+2$.
1) احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس إشارتها.
2) أنشئ جدول تغيرات $f$.
3) حدد معادلة المماس لـ $C_f$ عند النقطة ذات الفاصلة $1$.

الحل:

1) $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
$f^{\prime }(x)>0$ على $]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [$، $f^{\prime }(x)<0$ على $]-1,1[$.

2) الجدول:
- $f$ متزايدة على $]-\infty ,-1]$
- $f$ متناقصة على $[-1,1]$
- $f$ متزايدة على $[1,+\infty [$
قيمة عظمى محلية في $-1$: $f(-1)=-1+3+2=4$.
قيمة صغرى محلية في $1$: $f(1)=1-3+2=0$.

3) $f(1)=0$ و $f^{\prime }(1)=0$. المماس: $y=0(x-1)+0=0$. إنه محور الفواصل.

VIII. أهم 6 أخطاء يجب تجنبها

1. الخلط بين $(uv{)}^{\prime }$ و $u^{\prime }{v}^{\prime }$. القاعدة الصحيحة: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.
2. الخلط بين ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }$ و $\frac{u^{\prime }}{v^{\prime }}$. القاعدة الصحيحة: $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.
3. نسيان $u^{\prime }$ في مشتقة دالة مركبة $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$ (وليس فقط $n{u}^{n-1}$).
4. الاعتقاد أن $f^{\prime }(x_0)=0$ ⇒ قيمة حدية. خاطئ. يجب أن يكون هناك تغيير في إشارة $f^{\prime }$.
5. نسيان مجال القابلية للاشتقاق. مثلا $\sqrt{x}$ غير قابلة للاشتقاق في 0.
6. الخلط بين الرتابة التامة والرتابة. تامة: $f^{\prime }(x)>0$. واسعة: $f^{\prime }(x)\ge 0$.