Géométrie analytique de l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. معلم متعامد متجانس للفضاء

$(O; i, j, k)$ مع 3 متجهات متعامدة وحدوية.

نقطة $M$ لها إحداثيات $(x, y, z)$ بحيث $O M = x i + y j + z k$ .

II. التمثيل البارامتري لمستقيم

تعريف

المستقيم $D$ المار من $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ والموجه بالمتجه $u (a, b, c)$ له التمثيل البارامتري:

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c, t \in R$

كيف نجد متجهاً موجهاً؟

بالنسبة للمستقيم $(A B)$ : $u = A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A})$ .

III. الوضع النسبي لمستقيمين

ليكن $D$ موجهاً بـ $u$ و $D^{'}$ موجهاً بـ $u^{'}$ ، يمران من $A$ و $A^{'}$ .

متوازيان متطابقان: $u$ و $u^{'}$ متوازيان و $A \in D^{'}$
متوازيان تماماً: $u$ و $u^{'}$ متوازيان و $A \in / D^{'}$
متقاطعان (تقاطع): $u$ و $u^{'}$ غير متوازيين والمستقيمان يتقاطعان في نقطة وحيدة
غير متواجدان في مستوى واحد: $u$ و $u^{'}$ غير متوازيين والمستقيمان لا يلتقيان أبداً

IV. المعادلة الديكارتية لمستوى

تعريف

مستوى $P$ يمر من $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ وله متجه ناظمي $n (a, b, c)$ معادلته الديكارتية:

$a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$

أي $a x + b y + cz + d = 0$ حيث $d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$ .

نصيحة

المعاملات $(a, b, c)$ للمعادلة الديكارتية هي إحداثيات متجه ناظمي للمستوى!

V. الوضع النسبي مستقيم / مستوى

$u$ متجه موجه للمستقيم، $n$ متجه ناظمي للمستوى.

مستقيم موازٍ للمستوى: $u \cdot n = 0$ (والمستقيم خارج المستوى)
مستقيم محتوى في المستوى: $u \cdot n = 0$ ونقطة من المستقيم تنتمي للمستوى
مستقيم قاطع للمستوى: $u \cdot n \neq = 0$ ← نقطة تقاطع وحيدة
مستقيم عمودي على المستوى: $u$ متوازٍ مع $n$

VI. المسافة من نقطة إلى مستوى

المسافة من $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ إلى المستوى $P : a x + b y + cz + d = 0$ :

$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

المعطى: لتكن $A (1, 0, 2)$ ، $B (2, 1, 0)$ ، $C (0, 1, 1)$ .
1) حدد معادلة ديكارتية للمستوى $(A B C)$ .
2) احسب المسافة من النقطة $D (3, - 1, 2)$ إلى هذا المستوى.

الحل:

$A B (1, 1, - 2)$ ، $A C (- 1, 1, - 1)$ .
لنبحث عن $n (a, b, c)$ عمودي على الاثنين: $a + b - 2 c = 0$ و $- a + b - c = 0$ .
بالجمع: $2 b - 3 c = 0$ ، إذن $b = 3 c /2$ . من أجل $c = 2$ : $b = 3$ ، و $a = 2 c - b = 4 - 3 = 1$ .
إذن $n (1, 3, 2)$ .
المعادلة: $1 (x - 1) + 3 (y - 0) + 2 (z - 2) = 0$ ، أي $x + 3 y + 2 z - 5 = 0$ .

2) $d (D, (A B C)) = \frac{∣3 + 3 ( - 1 ) + 2 ( 2 ) - 5∣}{1 + 9 + 4} = \frac{∣ - 1∣}{14} = \frac{1}{14}$ .

VIII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

الخلط بين المتجه الموجه (مستقيم) والمتجه الناظمي (مستوى).
الاعتقاد أن مستقيمين غير متوازيين هما متقاطعان. في الفضاء، يمكن أن يكونا غير متواجدين في مستوى واحد.
نسيان المعامل $d$ في المعادلة الديكارتية.
نسيان القيمة المطلقة في صيغة المسافة.
حساب خاطئ لمتجه ناظمي للمستوى $(A B C)$ . يجب أن يكون عمودياً على $A B$ و $A C$ .

📈 Figure clé

Repère de l'espace

🔑 Formules clés à retenir

مستقيم (بارامتري): $⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + t a y = y_{A} + t b z = z_{A} + t c$

مستوى (ديكارتي): $a x + b y + cz + d = 0$

$(a, b, c)$ = إحداثيات متجه ناظمي

المسافة نقطة-مستوى:

$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

الوضع النسبي: استخدام $u \cdot n$

$= 0$ : موازٍ / محتوى
$\neq = 0$ : قاطع

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🎯 المعادلة الديكارتية لمستوى يمر من 3 نقاط: إيجاد $n$ عمودي على $A B$ و $A C$ (جملة 2×3).
🎯 المسافة نقطة-مستوى: نفس الصيغة تماماً كالمسافة نقطة-مستقيم، لكن مع 3 متغيرات.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الهندسة التحليلية في الفضاء

النوع 1: حساب إحداثيات متجه، المعايير والوسط

متى؟ عندما نتوفر على نقط $A$ ، $B$ بإحداثياتها ونريد $A B$ ، معياره أو وسط.

الإحداثيات: $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .
المعيار: $∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .
الوسط $I$ للقطعة $[A B]$ : $I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$ .

مثال سريع: $A (1; 0; 2)$ ، $B (3; 4; 2)$ : $A B (2; 4; 0)$ ، $∥ A B ∥ = 4 + 16 = 25$ .

النوع 2: حساب جداء سلمي واختبار التعامد

متى؟ عندما نريد جداء سلمي، زاوية، أو التحقق من أن متجهين متعامدان.

مع $u (x; y; z)$ و $v (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .
للتعامد: $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ .
لزاوية: $cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ .

مثال سريع: $u (1; 2; - 1)$ ، $v (2; - 1; 0)$ : $u \cdot v = 2 - 2 + 0 = 0$ ، إذن $u ⊥ v$ .

النوع 3: تحديد المعادلة الديكارتية لمستوى

متى؟ عندما نعرف نقطة $A$ من المستوى ومتجه ناظمي $n (a; b; c)$ .

المستوى له معادلة من الشكل $a x + b y + cz + d = 0$ ، حيث $(a; b; c)$ هي إحداثيات $n$ .
حدد $d$ بتعويض إحداثيات النقطة $A$ في المعادلة.
اكتب المعادلة النهائية للمستوى.

مثال سريع: مستوى يمر من $A (1; 0; 2)$ ناظمه $n (2; 1; - 1)$ : $2 x + y - z + d = 0$ مع $2 - 2 + d = 0$ ، إذن $d = 0$ والمعادلة هي $2 x + y - z = 0$ .

النوع 4: إيجاد تمثيل بارامتري لمستقيم

متى؟ عندما نعرف نقطة $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ ومتجه موجه $u (α; β; γ)$ .

نقطة $M (x; y; z)$ تنتمي للمستقيم إذا وفقط إذا $A M = t u$ لعدد حقيقي $t$ .
اكتب الجملة: $x = x_{0} + t α$ ، $y = y_{0} + tβ$ ، $z = z_{0} + t γ$ ، مع $t \in R$ .
إذا كان المستقيم محددا بنقطتين $A$ و $B$ ، خذ $u = A B$ .

مثال سريع: مستقيم يمر من $A (1; 2; 0)$ باتجاه $u (1; 0; 3)$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 z = 3 t$ ، $t \in R$ .

النوع 5: دراسة الوضع النسبي مستقيم / مستوى أو مستوى / مستوى

متى؟ عندما نريد معرفة إذا كان مستقيم موازيا، قاطعا، أو محتوى في مستوى (أو مقارنة مستويين).

حدد المتجه الموجه $u$ للمستقيم والمتجه الناظمي $n$ للمستوى.
إذا $u \cdot n = 0$ : المستقيم موازٍ للمستوى (أو محتوى فيه)؛ اختبر إذا كانت نقطة من المستقيم تحقق معادلة المستوى للحسم.
إذا $u \cdot n \neq = 0$ : المستقيم قاطع؛ أوجد نقطة التقاطع بتعويض التمثيل البارامتري في معادلة المستوى.

مثال سريع: مستقيم باتجاه $u (1; 0; 3)$ ومستوى ناظمه $n (2; 1; - 1)$ : $u \cdot n = 2 - 3 = - 1 \neq = 0$ ، إذن المستقيم يقطع المستوى.

النوع 6: حساب المسافة من نقطة إلى مستوى

متى؟ عندما نريد المسافة من نقطة $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ إلى مستوى معادلته $a x + b y + cz + d = 0$ .

حدد $a$ ، $b$ ، $c$ ، $d$ في معادلة المستوى.
طبق الصيغة $d (A, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
احسب القيمة العددية (دون نسيان القيمة المطلقة في البسط).

مثال سريع: المسافة من $A (1; 1; 1)$ إلى المستوى $2 x + y - 2 z + 3 = 0$ : $\frac{∣2 + 1 - 2 + 3∣}{4 + 1 + 4} = \frac{4}{3}$ .

النوع 7: تحديد معادلة كرة واختبار الانتماء

متى؟ عندما نعرف المركز $Ω (a; b; c)$ ونصف القطر $R$ (أو نقطة من الكرة).

المعادلة: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
إذا أعطي المركز ونقطة $A$ ، احسب $R = Ω A$ .
لاختبار نقطة $M$ : عوض إحداثياتها؛ المساواة $\Rightarrow M$ على الكرة، $< R^{2}$ داخلية، $> R^{2}$ خارجية.

مثال سريع: كرة مركزها $Ω (0; 0; 0)$ ونصف قطرها $3$ : $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ ؛ النقطة $(1; 2; 2)$ تحقق $1 + 4 + 4 = 9$ ، إنها على الكرة.

Géométrie analytique de l'espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

Exercices Faciles

7 exercices

Représentation paramétrique d'une droite

Facile

Énoncé

أعط تمثيلا بارامتريا للمستقيم

D

المار من

A (1, - 2, 3)

والموجَّه بالمتجهة

u (2, 1, - 1)

Ma réponse

Géométrie analytique de l'espace

Géométrie analytique de l'espace — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. معلم متعامد متجانس للفضاء

II. التمثيل البارامتري لمستقيم

تعريف

كيف نجد متجهاً موجهاً؟

III. الوضع النسبي لمستقيمين

IV. المعادلة الديكارتية لمستوى

تعريف

نصيحة

V. الوضع النسبي مستقيم / مستوى

VI. المسافة من نقطة إلى مستوى

VII. طريقة الباكالوريا نموذج 2024

VIII. أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

Méthodes types

طرق نموذجية — الهندسة التحليلية في الفضاء

النوع 1: حساب إحداثيات متجه، المعايير والوسط

النوع 2: حساب جداء سلمي واختبار التعامد

النوع 3: تحديد المعادلة الديكارتية لمستوى

النوع 4: إيجاد تمثيل بارامتري لمستقيم

النوع 5: دراسة الوضع النسبي مستقيم / مستوى أو مستوى / مستوى

النوع 6: حساب المسافة من نقطة إلى مستوى

النوع 7: تحديد معادلة كرة واختبار الانتماء

Géométrie analytique de l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Représentation paramétrique d'une droite

Distance entre 2 points

Vecteurs égaux en 3D

Équation paramétrique d'une droite

Coordonnées d'un point

Milieu d'un segment

Vecteur normal à un plan

Exercices Intermédiaires

Test d'appartenance à un plan

Équation d'une sphère

Équation cartésienne d'un plan par 3 points

Intersection droite/plan

Équation cartésienne d'un plan

Équation paramétrique d'une droite

Alignement de 3 points

Exercices Difficiles

Position relative droite/plan

Plans parallèles et distance

Distance point-plan

Volume d'un tétraèdre

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Géométrie analytique de l'espace

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone