لتكن $f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$.

1. حدد $D_f$.
2. باستخدام القسمة الإقليدية، اكتب $f(x)=ax+b+\frac{c}{x-1}$.
3. حدد المقاربات ووضع $C_f$ بالنسبة للمقارب المائل.
4. احسب $f^{\prime }(x)$، ادرس إشارتها ثم ضع جدول التغيرات.
5. بين أن $\Omega (1;0)$ مركز تماثل.

لتكن $f(x)=x+\sqrt{x}$ من أجل $x\ge 0$.

1. حدد $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.
2. حدد طبيعة الفرع اللانهائي في $+\infty$.
3. ادرس القابلية للاشتقاق في $0$ من اليمين.

لتكن $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

1. حدد $D_f$ وادرس زوجية الدالة.
2. احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس اتجاه تغير الدالة.
3. بين أن المستقيم $y=x$ مقارب مائل عند $+\infty$، وأن المستقيم $y=-x$ مقارب مائل عند $-\infty$.
4. ادرس الوضع النسبي للمنحنى $C_f$ بالنسبة لهذين المقاربين.

لتكن $f(x)=\cos (x)+\cos (2x)$.

1. بيّن أن $f$ زوجية ودورية بدورة $2\pi$. حدد مجال الدراسة.
2. احسب $f^{\prime }(x)$ على $[0,\pi ]$ وحلّله باستعمال الصيغة $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$.
3. أنشئ جدول تغيرات الدالة على $[0,\pi ]$.

لتكن $f(x)=x^3-6x^2+9x$ معرفة على $\mathbb{R}$.

1. احسب $f^{\prime }(x)$ وحل المعادلة $f^{\prime }(x)=0$.
2. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ وأنشئ جدول التغيرات الكامل.
3. حدد القيم الحدية المحلية للدالة $f$.
4. احسب $f(0)$، $f(3)$. أوجد جذور $f$ (حلل $f(x)=x(...)$).

لتكن $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$.

1. حدد مجموعة تعريف الدالة $D_f$.
2. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f(x)$. استنتج المقاربات.
3. احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس إشارتها. ضع جدول التغيرات.
4. احسب $f(0)$ وأوجد أفصول النقطة حيث تنعدم الدالة $f$.

نص التمرين

دراسة طبيعة الفروع اللانهائية لمنحنيات الدوال التالية:

1. $f(x)=\frac{3-2x^2}{(1+x{)}^2}$

2. $g(x)=2x-\sqrt{x}$

دراسة التقعر بعد ذلك وتحديد نقاط الانعطاف (إن وجدت) لمنحنيات الدوال:

1. $h(x)=x^3+x^2$

2. $k(x)=\frac{1}{12}{x}^4-2x^2+x+\frac{2}{3}$

نص التمرين

1. لتكن $f$ معرفة بـ $f(x)=\sqrt{x^2+6x+5}$. بين أن المستقيم $D:x=-3$ هو محور تماثل للمنحنى $(C_f)$.

2. لتكن $g$ معرفة بـ $g(x)=\frac{3x-1}{x+2}$. بين أن النقطة $\Omega (-2,3)$ هي مركز تماثل للمنحنى $(C_g)$.

نص التمرين

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=2x^3-3x^2+2$.

1. ادرس الفروع اللانهائية لـ $(C_f)$.

2. احسب $f^{\prime }(x)$ ثم أنشئ جدول تغيرات $f$.

3. ادرس تحدب $(C_f)$ مع تحديد نقطة الانعطاف.

4. بين أن النقطة $A\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ هي مركز تماثل لـ $(C_f)$.

نص التمرين

لتكن $f$ معرفة على ${\mathbb{R}}^{\ast }$ بـ $f(x)=\frac{3x^4+1}{3x^3}$.

1. ادرس تكافؤ $f$ واستنتج مجال الدراسة $D_E$.

2. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ وفسر ذلك هندسياً.

3. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ ثم بين أن المستقيم $(D):y=x$ مقارب مائل لـ $(C_f)$ عند $+\infty$. ادرس الوضع النسبي لـ $(C_f)$ و $(D)$.

4. احسب $f^{\prime }(x)$ وأنشئ جدول تغيرات $f$.

نص التمرين

لتكن $f$ معرفة بـ $f(x)=x-\frac{1}{\sqrt{x-2}}$.

1. تحقق من أن $D_f=]2,+\infty [$.

2. احسب $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)$ وفسرها هندسياً. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ ثم بين أن المستقيم $(\Delta ):y=x$ مقارب مائل لـ $(C_f)$ عند $+\infty$، وحدد الوضع النسبي لـ $(C_f)$ و $(\Delta )$.

3. بين أنه من أجل كل $x\in ]2,+\infty [$ : $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{2(\sqrt{x-2}{)}^3}$، ثم أنشئ جدول تغيرات $f$.

4. احسب $f(3)$.

الفروع اللانهائية والتحدب

1) دراسة طبيعة الفروع اللانهائية لمنحنيات الدوال التالية:

$\text{a)}f(x)=\frac{3-2x^2}{(1+x{)}^2}\text{b)}f(x)=2x-\sqrt{x}$

2) نعتبر الدالة $f$ المعرفة بـ $f(x)=x^3+x^2$. دراسة تقعر المنحنى $(C_f)$ وتحديد نقاط الانعطاف المحتملة.

3) لتكن $f$ معرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\frac{1}{12}{x}^4-2x^2+x+\frac{2}{3}$. دراسة تحدب $(C_f)$ مع تحديد نقاط الانعطاف.

دالة كثيرة الحدود $f(x)=2x^3-3x^2+2$

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=2x^3-3x^2+2$.

1. دراسة الفروع اللانهائية لـ $(C_f)$.
2. حساب $f^{\prime }$ على $\mathbb{R}$ ثم إنشاء جدول تغيرات $f$.
3. دراسة تحدب $(C_f)$ مع تحديد نقاط الانعطاف.
4. بيّن أن النقطة $A\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ هي مركز تماثل لـ $(C_f)$.

الدالة $f(x)=x-\frac{1}{\sqrt{x-2}}$

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=x-\frac{1}{\sqrt{x-2}}$.

1. تحقق من أن $D_f=]2;+\infty [$.
2. a. احسب $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)$ وفسر هندسياً. b. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ ثم بين أن المستقيم $(\Delta ):y=x$ مقارب مائل لـ $(C_f)$ في جوار $+\infty$. c. حدد الوضع النسبي لـ $(C_f)$ و $(\Delta )$.
3. a. بين أنه من أجل كل $x\in ]2;+\infty [$ : $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{2(\sqrt{x-2}{)}^3}$. b. أنشئ جدول تغيرات $f$.
4. احسب $f(3)$.

نعتبر الدالة $f(x)=\frac{2x+1}{x^2-1}$. أوجد المقاربات العمودية والأفقية للدالة $f$.

لتكن الدالة g معرفة بـ $g(x)=\frac{1}{x-2}+3$. ادرس استمرارية g على $\mathbb{R}$.

للدالة $f(x)=x^2-4$، أوجد معادلة المماس للمنحنى في النقطة $P(2,0)$.

احسب النهايات $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^3-x}{2x^3+4}$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^3-x}{2x^3+4}$.

ادرس الدالة $f(x)=e^x-2$ وأنشئ جدول تغيراتها.

ادرس الدالة $f(x)=x^3-3x^2+4$. أنجز جدول التغيرات.

اعتبر الدالة $f(x)=\frac{3x+1}{2x-5}$. أوجد المقاربات الأفقية.

للدالة $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$، حدد المقاربات العمودية.

ادرس الدالة $f(x)=\frac{3x}{x+2}$ وأوجد المقاربات الأفقية.

للدالة $f(x)=\frac{2x^2+3}{x}$، حدد ما إذا كان يوجد مقارب مائل.

التمرين 3

نعتبر الدالة $h$ المعرفة على حيز تعريفها بما يلي :

$h(x)=x+1+\frac{1}{x-2}$

1. حدد حيز تعريف الدالة $D_h$.

2. احسب نهايات الدالة $h$ عند $-\infty$ و $+\infty$ وعند $x=2$. استنتج مقاربات المنحنى $C_h$. بين على وجه الخصوص أن المستقيم $\Delta$ الذي معادلته $y=x+1$ هو مقارب مائل للمنحنى $C_h$.

3. احسب $h^{\prime }(x)$ لكل $x\in D_h$. ادرس إشارتها ثم ضع جدول تغيرات الدالة $h$.

4. حدد إحداثيات نقط تقاطع $C_h$ مع المستقيم $\Delta$ (إن وجدت) أو برر عدم وجودها.

5. بين أن $C_h$ يقبل مركز تماثل تحدد إحداثياته.

التمرين 4

نعتبر عائلة الدوال $f_m$ المعرفة لكل عدد حقيقي m بما يلي:

$f_m(x)=x^2-2mx+m+2$

1. بين أنه لكل عدد حقيقي m، $D_{f_m}=\mathbb{R}$.

2. احسب $f_m^{\prime }(x)$ وأنشئ جدول تغيرات الدالة $f_m$.

3. حدد القيمة الدنيا للدالة $f_m$ بدلالة m.

4. ناقش، حسب قيم m، عدد جذور الدالة $f_m$ (أي عدد حلول المعادلة $f_m(x)=0$).

5. حدد قيمة m التي من أجلها يمر المنحنى $C_{f_m}$ من النقطة A(1 ; −1). لهذه القيمة من m، احسب إحداثيات رأس القطع المكافئ.

التمرين 3

نعتبر الدالة f المعرفة على حيز تعريفها بما يلي :

$f(x)=\frac{x^2+x-2}{x-1}$