Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. الأوضاع النسبية

مستقيمان: متوازيان، متقاطعان، منطبقان، أو غير مستويين (متقاطعان في الفراغ - لا متوازيان ولا متقاطعان).

مستقيم ومستوى: متوازيان ( $d \cap P = \emptyset$ )، متقاطعان ( $d \cap P = {$ نقطة واحدة $}$ )، أو ضمن P.

مستويان: متوازيان ( $P \cap P^{'} = \emptyset$ )، منطبقان، أو متقاطعان ( $P \cap P^{'} =$ مستقيم).

II. مستقيم عمودي على مستوى

يكون المستقيم d عموديا على مستوى P إذا وفقط إذا كان عموديا على مستقيمين متقاطعين من P يمران من نقطة تقاطعهما H.

النتائج:

إذا كان $d ⊥ P$ و $d^{'} ∥ d$ ، فإن $d^{'} ⊥ P$ .
إذا كان $d ⊥ P$ و $P ∥ P^{'}$ ، فإن $d ⊥ P^{'}$ .

مبرهنة التعامدات الثلاثة: ليكن H مسقط النقطة S على المستوى P، و $Δ$ مستقيمًا من P. إذا كان المسقط $Δ^{'}$ للمستقيم $Δ$ على P يحقق $Δ^{'} ⊥$ SH في P، فإن $Δ ⊥$ (المستوى SH).

III. المستويات والزوايا الثنائية

الزاوية الثنائية المتكونة من مستويين متقاطعين هي الزاوية المتكونة من نصفي مستقيمين ينبعان من مستقيم التقاطع، ويحتويان في كل مستوى ويكونان عموديين على هذا المستقيم.

يكون مستويان متعامدين إذا وفقط إذا كانت زاويتهما الثنائية $90°$ .

يكون مستوى (P) عموديا على مستوى آخر (P') إذا وفقط إذا كان (P) يحتوي على مستقيم عمودي على (P').

IV. معلم متعامد ممنظم في الفضاء

في معلم $(O; i, j, k)$ ، كل نقطة M لها إحداثيات $(x; y; z)$ .

المسافة: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$
المنتصف: I لـ [AB] : $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$

المتجهة: $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ . المعيار: $∥ A B ∥ = A B$ .

الجداء السلمي: $u (x, y, z) \cdot v (x^{'}, y^{'}, z^{'}) = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .

$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$ .

V. المعادلة الديكارتية لمستوى

مستوى (P) ذو المتجهة المنظمية $n (a, b, c)$ والذي يمر من $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ معادلته هي:

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ أو $a x + b y + cz + d = 0$

مسافة نقطة $M_{0}$ عن مستوى: $d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

VI. أحجام ومساحات المجسمات الاعتيادية

المجسم	الحجم	المساحة الجانبية / الكلية
مكعب (ضلع a)	$a^{3}$	$6 a^{2}$
هرم	$\frac{1}{3} \cdot B \cdot h$	$B + Σ$ (الأوجه الجانبية)
أسطوانة (R, h)	$π R^{2} h$	$2 π R^{2} + 2 π R h$
مخروط (R, h)	$\frac{1}{3} π R^{2} h$	$π R^{2} + π R ℓ$
كرة (R)	$\frac{4}{3} π R^{3}$	$4 π R^{2}$

VII. معادلة ومقطع الكرة

الكرة التي مركزها $Ω (a, b, c)$ وشعاعها R : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .

تقاطع كرة ومستوى: $d = d (Ω, P)$ . إذا كان $d < R$ : دائرة شعاعها $r = R^{2} - d^{2}$ . إذا كان $d = R$ : نقطة تماس. إذا كان $d > R$ : مجموعة فارغة.

📈 Figure clé

Repère de l'espace

🔑 Formules clés à retenir

dist(A,B)= $(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} + (Δ z)^{2}$
$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $⊥$ $\Leftrightarrow$ $u \cdot v = 0$
المستوى : $a x + b y + cz + d = 0$ ; المتجهة المنظمية $n (a, b, c)$
$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$
$V (الهرم) = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$ ; $V (الفلكة) = \frac{4}{3} π R^{3}$
الفلكة : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$
مبرهنة التعامُدات الثلاثة

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

مستوى عمودي ≠ مستقيم عمودي: المتجهة المنظمية لمستوى $n (a, b, c)$ تكون عمودية على المستوى بأكمله، وليس فقط على مستقيم واحد. أي مستقيم له نفس اتجاه المتجهة $n$ يكون عمودياً على المستوى.

❌

مبرهنة المستقيمات الثلاثة (صياغة خاطئة): إذا كان مستقيم (d) عمودياً على مستقيم (d') ضمن مستوى، فهذا لا يعني بالضرورة أنه عمودي على المستوى. يجب أن يمر (d') من مسقط المستقيم (d) العمودي على المستوى.

❌

حجم الهرم: $V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$ , وليس $\frac{1}{4}$ أو $\frac{1}{2}$ . العامل $\frac{1}{3}$ خاص بالأهرامات والمخاريط (بعد واحد أقل من الموشور).

🟢 نصائح احترافية

✅

إيجاد معادلة مستوى: لديك المتجهة المنظمية $n (a, b, c)$ ونقطة $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ← المعادلة: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ , ثم قم بالنشر.

✅

تقاطع مستقيم ومستوى: قم بتمثيل المستقيم بتمثيل بارامتري، ثم عوض في معادلة المستوى، حل المعادلة لإيجاد البارامتر $t$ , ثم أوجد نقطة التقاطع.

💡

المسافة بين نقطة ومستوى: $d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ . القيمة المطلقة في البسط ضرورية — المسافة دائماً موجبة!

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الهندسة في الفضاء

النوع 1 : إثبات أن نقاطا مستوية (أو نقطة في مستوى)

متى ؟ عندما يُطلب معرفة ما إذا كانت أربع نقاط مستوية، أو ما إذا كانت ثلاثة أشعة مستوية.

شكّل ثلاثة أشعة انطلاقا من نقطة مشتركة، مثلا $A B$ ، $A C$ ، $A D$ .
ابحث عن عددين حقيقيين $α$ و $β$ بحيث $A D = α A B + β A C$ : اكتب المساواة إحداثية بإحداثية.
حل الجملة؛ إذا قبلت حلا، فالأشعة مستوية.
استنتج : إذا وُجد التركيب، فالنقاط الأربع مستوية.

مثال سريع : إذا كان $A D = 2 A B - A C$ ، فإن $A$ ، $B$ ، $C$ ، $D$ مستوية.

النوع 2 : تحديد تمثيل بارامتري لمستقيم

متى ؟ عندما نريد بَرْمَجة مستقيم يمر من نقطة وموجَّه بشعاع، أو يمر من نقطتين.

اختر نقطة $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ من المستقيم وشعاعا موجِّها $u (a; b; c)$ (مثلا $A B$ إذا أُعطيت نقطتان).
لكل نقطة $M (x; y; z)$ من المستقيم، اكتب $A M = t u$ مع $t \in R$ .
ترجم إلى جملة : $x = x_{A} + t a$ ، $y = y_{A} + t b$ ، $z = z_{A} + t c$ .
قدّم النتيجة مع المعامل $t$ محدَّدا بوضوح.

مثال سريع : بـ $A (1; 0; 2)$ و $u (1; - 1; 3)$ : $x = 1 + t$ ، $y = - t$ ، $z = 2 + 3 t$ .

النوع 3 : تحديد المعادلة الديكارتية لمستوى

متى ؟ عندما تُعطى نقطة وشعاع ناظمي، أو ثلاث نقاط غير مستقيمية، ونريد $a x + b y + cz + d = 0$ .

إذا كان لديك شعاع ناظمي $n (a; b; c)$ : المستوى له معادلة من الشكل $a x + b y + cz + d = 0$ .
إذا كان لديك ثلاث نقاط : شكّل شعاعين من المستوى ثم أوجد شعاعا ناظميا بالبحث عن $n$ عمودي على الاثنين (جملة جداءات سلمية معدومة).
حدّد $d$ بتعويض نقطة معلومة من المستوى في المعادلة.
تحقق بنقطة أخرى من المستوى.

مثال سريع : ناظمي $n (1; 2; - 1)$ بـ $A (0; 0; 3)$ : $x + 2 y - z + d = 0$ مع $- 3 + d = 0$ ، إذن $x + 2 y - z + 3 = 0$ .

النوع 4 : دراسة الوضع النسبي لمستويين

متى ؟ عندما يُطلب معرفة ما إذا كان مستويان متوازيين، متطابقين أو متقاطعين.

اقرأ الشعاعين الناظميين $n_{1}$ و $n_{2}$ من المعادلتين.
اختبر التناسب : إذا كان $n_{1}$ و $n_{2}$ متناسبين، فالمستويان متوازيان.
في هذه الحالة، تحقق ما إذا كانت المعادلتان متناسبتين : إذا نعم فالمستويان متطابقان، وإلا فهما متوازيان تماما.
إذا لم يكن الناظميان متناسبين، فالمستويان متقاطعان وفق مستقيم (حل الجملة لبَرْمَجته).

مثال سريع : $x + y + z = 1$ و $2 x + 2 y + 2 z = 5$ : ناظميان متناسبان، معادلتان غير متناسبتين، إذن مستويان متوازيان تماما.

النوع 5 : دراسة الوضع النسبي لمستقيم ومستوى

متى ؟ عندما نريد معرفة ما إذا كان مستقيم محتوى في مستوى، موازيا، أو قاطعا (وإيجاد نقطة التقاطع).

استخرج الشعاع الموجِّه $u$ للمستقيم والشعاع الناظمي $n$ للمستوى.
احسب $u \cdot n$ : إذا كان غير معدوم، فالمستقيم يقطع المستوى في نقطة.
إذا كان $u \cdot n = 0$ ، اختبر ما إذا كانت نقطة من المستقيم تنتمي للمستوى : إذا نعم فالمستقيم محتوى، وإلا فهو موازٍ تماما.
لنقطة التقاطع، عوّض التمثيل البارامتري في معادلة المستوى وحل بالنسبة لـ $t$ .

مثال سريع : $u (1; 0; 1)$ ، مستوى ناظميه $n (1; 1; - 1)$ : $u \cdot n = 0$ ، إذن مستقيم موازٍ أو محتوى.

النوع 6 : تحديد معادلة كرة

متى ؟ عندما يُعطى مركز ونصف قطر، أو قطر، ونريد المعادلة الديكارتية للكرة.

إذا كان المركز $Ω (a; b; c)$ ونصف القطر $R$ : اكتب $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
إذا أُعطي قطر $[A B]$ : المركز هو منتصف $[A B]$ ونصف القطر يساوي $\frac{A B}{2}$ .
إذا أُعطيت المعادلة بشكل مفكوك، اجمع وأكمل المربعات لاستخراج المركز ونصف القطر.
إذا كان المجموع المحصَّل سالبا، استنتج أنه لا توجد كرة.

مثال سريع : المركز $(1; - 2; 0)$ ، نصف القطر $3$ : $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 9$ .

النوع 7 : الوضع النسبي لكرة ومستوى

متى ؟ عندما ندرس تقاطع كرة ومستوى، أو نبحث عن نصف قطر دائرة التقاطع.

حدّد المركز $Ω$ ونصف القطر $R$ للكرة.
احسب بُعد المركز عن المستوى : $d = d (Ω, (P)) = \frac{∣ a x _{Ω} + b y _{Ω} + c z _{Ω} + d ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
قارن $d$ و $R$ : إذا كان $d > R$ لا يوجد تقاطع، إذا كان $d = R$ فالمستوى مماس، إذا كان $d < R$ فالتقاطع دائرة.
لنصف قطر الدائرة، طبّق $r = R^{2} - d^{2}$ .

مثال سريع : $R = 5$ و $d = 3$ : $d < R$ ، التقاطع دائرة نصف قطرها $r = 25 - 9 = 4$ .

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

43 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 43 corrigés

Exercices Faciles

14 exercices

المسافة بين نقطتين في الفضاء

Facile

Énoncé

A(1,2,3) و B(4,6,3). أحسب AB ومنتصف M للقطعة [AB].

Ma réponse

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. الأوضاع النسبية

II. مستقيم عمودي على مستوى

III. المستويات والزوايا الثنائية

IV. معلم متعامد ممنظم في الفضاء

V. المعادلة الديكارتية لمستوى

VI. أحجام ومساحات المجسمات الاعتيادية

VII. معادلة ومقطع الكرة

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — الهندسة في الفضاء

النوع 1 : إثبات أن نقاطا مستوية (أو نقطة في مستوى)

النوع 2 : تحديد تمثيل بارامتري لمستقيم

النوع 3 : تحديد المعادلة الديكارتية لمستوى

النوع 4 : دراسة الوضع النسبي لمستويين

النوع 5 : دراسة الوضع النسبي لمستقيم ومستوى

النوع 6 : تحديد معادلة كرة

النوع 7 : الوضع النسبي لكرة ومستوى

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

المسافة بين نقطتين في الفضاء

الأوضاع النسبية للمستقيمات والمستويات

Vecteurs coplanaires et non coplanaires dans un parallélépipède

Vecteurs coplanaires et non coplanaires d'un parallélépipède

تقاطع مستقيم ومستوى

المسافة بين نقطة ومستوى

الزاوية الزوجية بين مستويين

خاصية المستقيمات المتعامدة

المسافة بين نقطتين في الفضاء

الوضع النسبي لمستقيمين

المسافة بين نقطة ومستوى

منتصف قطعة في الفضاء

مستويات متوازية

مسافة نقطة عن مستوى

Exercices Intermédiaires

الأوضاع النسبية لمكعب

منظور متساوي القياس لمكعب - قراءة شكل

Quatre points coplanaires à partir d'une relation vectorielle

Trois vecteurs coplanaires dans un cube (milieux d'arêtes)

Coplanarité et non-coplanarité dans un cube de centre O

Parallélisme de deux droites dans un tétraèdre

Parallélogramme et parallélisme droite-plan dans un tétraèdre

Coplanarité de quatre points par une relation vectorielle

Vecteurs coplanaires dans un cube (milieux d'arêtes)

Parallélisme de droites dans un tétraèdre

Vecteurs coplanaires dans un cube avec points partageant des arêtes

الوضع النسبي لمستقيم ومستوى

تقاطع المستويات

حساب الزاوية الثنائية

حساب المسافة بين نقطتين

Exercices Difficiles

مقاطع مكعب بمستوى

معادلة مستوى ومسافة

Points alignés dans un cube (décomposition vectorielle)

Quatre points coplanaires dans un tétraèdre

Vecteurs coplanaires dans un cube (deux paramètres)

Vecteurs coplanaires et non coplanaires dans un cube de centre O

Alignement de points dans un cube

Coplanarité de quatre points dans un tétraèdre

حساب المسافة بين نقطتين

مسألة الإسقاط على مستوى

برهان التعامد

تقاطع مستويين

الوضع النسبي لثلاث مستويات

برهان شرطي التعامد

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Géométrie dans l'espace

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone